Наслідки

Як любитель TCS, я читаю популярний, дуже вступний матеріал про квантові обчислення. Ось кілька елементарних бітів інформації, яких я дізнався до цих пір:

1. Відомо, що квантові комп'ютери не вирішують задач, повних NP, у поліноміальний час.
2. "Квантової магії буде недостатньо" (Bennett et al., 1997): якщо ви викинете структуру проблеми і просто розгляньте простір можливих рішень, то навіть квантовому комп'ютеру потрібно приблизно кроки, щоб знайти правильний (використовуючи алгоритм Гровера)$2^n$$\sqrt{2^n}$
3. Якщо коли-небудь знайдений квантовий алгоритм багаточленного часу для завдання, повного NP, він повинен якось використовувати структуру проблеми (інакше пункт 2 буде суперечним).

У мене є деякі (основні) питання, які, схоже, ніхто не задавав на цьому сайті (можливо, тому, що вони є базовими). Припустимо, хтось знайде квантовий алгоритм квантового поліноміального часу помилки для (або будь-якої іншої задачі, повної NP), таким чином помістивши в і маючи на увазі .$SAT$$SAT$$BQP$$NP \subseteq BQP$

Запитання

1. Які б були теоретичні наслідки такого відкриття? Як би вплинула загальна картина класів складності? Які класи стали б рівними іншим?
2. Такий результат, здавалося б, свідчить про те, що квантові комп'ютери мали властиву перевагу, ніж класичні. Якими були б наслідки такого результату для фізики? Чи висвітлило б це світло на будь-яку відкриту проблему фізики? Чи змінилася б фізика після подібного результату? Чи вплине закон фізики, як ми їх знаємо?
3. Можливість (або ні) використовувати структуру проблеми в досить загальному (тобто незалежному від конкретних випадків) способі, здається, є самою основою питання P = NP. Тепер, якщо знайдений квантовий алгоритм багаточленного обмеженого помилки для $SAT$ і він повинен використовувати структуру проблеми, чи не буде його стратегія структури-експлуатації застосовна і в класичному сценарії? Чи є докази, які свідчать про те, що така структура-експлуатація може бути можливою для квантових комп'ютерів, а залишатися неможливою для класичних?

Я не буду намагатися відповісти на перше запитання, оскільки хтось, як Скотт Аронсон, Пітер Шор чи Джон Уотрос, без сумніву, може дати вам набагато більш вичерпну відповідь на цьому фронті.

Що стосується питання 2, важливо зазначити, що квантові комп'ютери насправді є більш потужними, ніж класичні комп'ютери в багатьох випадках:

1. Існує досить загальне поліномійне прискорення, яке отримують квантові комп'ютери над класичними комп'ютерами в цілому ряді проблем. З точки зору складності, це, можливо, дещо менш цікаво, ніж експоненціальна швидкість, але це те, що ми можемо фактично довести.
2. Квантова складність спілкування часто може різко відрізнятися від класичної складності комунікацій для тієї ж проблеми. Знову ж таки, це можна довести (див., Наприклад, гру Mermin-GHZ).
3. Квантові запити до оракул дуже часто набагато потужніші, ніж класичні запити до того ж оракулу (див., Наприклад, алгоритм Deutsch-Josza).

Зважаючи на це, вже відомо, що квантові комп'ютери в принципі потужніші, ніж класичні комп’ютери. Думаю, я був би правильним, кажучи, що більшість фізиків, які працюють над такими речами, вже вважають, що неможливо знайти класичний алгоритм для ефективного моделювання кожної квантової системи, і тому в результаті, що показує, що NP міститься в BQP це, звичайно, буде дивно, не було б особливо ймовірним прорив у розумінні будь-якого конкретного фізичного явища. Швидше це дасть дещо сильніші докази того, що квантову фізику важко імітувати.

Не існує фундаментальної фізики, яка залежить від обчислювальної складності її моделювання, тому пошук ефективного квантового алгоритму для задачі, повного NP, не матиме фундаментальних наслідків для правильності нашого поточного розуміння того, як функціонує Всесвіт (хоча я схильний погодитись із пропозицією Скотта Ааронсона про те, що цікаво побачити, чи могли б у вас випливати з обчислювальних припущень фізичні закони).

Вкрай спокусливо сказати, що це може мати наслідки для адіабатичної еволюції квантових систем (і, мабуть, ви можете отримати відповідь чи дві, що припускають, що таке) тощо, але це було б неправильно, оскільки ними керує конкретний фізичний процес , і тому, показуючи, що в принципі можна вирішити SAT за багаточленним часом на квантовому комп'ютері, нічого не скаже про їх конкретну еволюцію.

Що стосується вашого останнього запитання, ми вже маємо приклади, коли структура задачі використовується для отримання багаточленного квантового алгоритму, але які не призводять до такого класичного алгоритму (наприклад, факторингу). Отже, що стосується нашого сучасного розуміння, проблема зі структурою, яка може бути використана для отримання квантового алгоритму багаточленного часу, не означає, що ця структура може бути використана для отримання класичного алгоритму багаточленного часу.

Скотт Ааронсон часто любив вказувати (і, мабуть, все ще любить вказувати, припускаючи, що він цього не втомився), що фізичні процеси не завжди знаходять глобальний мінімум енергетичного ландшафту . Зокрема, якби ви сформулювали примірник комплексної задачі оптимізації NP як проблеми мінімізації енергії для фізичної системи, немає жодних причин - ні теоретичних, ні емпіричних - вірити, що така фізична система "розслабиться" після деякий час для вирішення проблеми ( тобто  енергетичної конфігурації, яка є глобальним мінімумом). Він скоріше розслабиться перед місцевим мінімумом: той, для якого трохи інші конфігурації вимагають більше енергії, але там, де істотно інша конфігурація може мати менше енергії.

Отже, хоча доведення NP  ⊆  BQP було б тріумфом першого порядку - для всіх теоретиків складності, а не лише для теоретиків квантових обчислень - це дозволило б припустити, що існує ціла нова теорія "фізичних" моделей обчислень, які чекають її відкриття. Чому? Ну а моделі обчислень можна розглядати як моделі фізики (хоча і вузькоспеціалізовані): а саме, які обчислювальні ресурси є фізично розумними. Один з «гасел» квантових обчислень є те , що Nature isn't classical, [darn] it^† - так що якщо ви не можете моделювати квантову механіку на класичному комп'ютері, що ви можете фізично обчислити ефективно майже напевно потужнішим , ніж P . І все ж ми маємо докази того, що він менш потужний, ніж NP; тому він також повинен бути менш потужним, ніж BQP , якби так сталося, що NP  ⊆  BQP .

Отже, доказ NP  ⊆  BQP поставив би нам трилему: або

1. квантові схеми можна ефективно моделювати на класичному комп’ютері, доводячи NP  ⊆  BQP  ⊆  P , тим самим перевершуючи найсміливіші мрії або кошмари кожного теоретика;
2. квантові схеми неможливо змоделювати на класичному комп’ютері, але масштабовані квантові комп’ютери можуть бути побудовані для вирішення проблем NP , викликаючи по-справжньому вибухонебезпечний інтерес до квантових обчислень та гарантуючи, що експериментальні фізики мають безпеку кар’єри в осяжному майбутньому;
3. існує ще одна модель обчислень, яка чекає їх виявлення, проміжний між потужністю P і BQP , яка описує (а точніше, краще наближає ) те, що ефективно фізично обчислюється.

Я підозрюю, що розумні гроші будуть на №3, настільки ж веселі, як і №1, або №2, будуть з академічної точки зору.

^†  З вибаченнями за Фейнмана, який, я підозрюю, не часто підганяв його прокляття.