Модульне розкладання та ширина кліку

Я намагаюся зрозуміти деякі поняття про модульне розкладання та графіки по ширині Кліка .

У цій статті ("Про графіки P4-охайні") є доказ того, як вирішити проблеми оптимізації, наприклад, число кліки або хроматичне число, використовуючи модульне розкладання. Вирішити ці проблеми шляхом складання (використовуючи диз'юнктну суму або роз'єднане об'єднання) два графіки G1, G2 легко, коли ви знаєте відповіді для G1 і G2. Оскільки прості графіки при розкладанні P4-охайних графіків є обмеженими графами (тобто C5, P5 тощо), їх легко вирішити для цих "базових випадків", а потім вирішити для композицій. Отже, використовуючи дерево декомпозиції, можна вирішити ці проблеми за лінійним часом.

Але здається, що ця методика працювала б із будь-яким графічним класом, таким чином, що графічні праймери обмежені. Тоді я знайшов цю статтю "Проблеми лінійної оптимізації в лінійному часі на графіках обмеженої ширини кліків", яка, схоже, робить узагальнення, яке я шукав, але я не міг його дуже добре зрозуміти.

Моє запитання:

1- Чи еквівалентно сказати, що проміжні графіки дерева декомпозиції є обмеженими (як у випадку P4-охайних графіків) та говорять про те, що графік має обмежене властивість "Ширина кліку"?

2- У випадку, якщо відповідь за 1 - НІ, то: Чи існує якийсь результат щодо класів графіків з обмеженими графіками (наприклад, у P4-охайних графах), і таким чином проблеми оптимізації, як кількість кліків, розв'язуваних за лінійним часом для всіх цих класів ?

ви знайдете вступний текст на ширину кліки (короткий переклад cwd) тут: Верхні межі до ширини кліків графіків (B. Courcelle та S. Olariu, DAM 101). Ви можете знайти новітні результати цього опитування: останні події на графіках обмеженої ширини кліки (М. Камінський, В. Лозін, М. Міланіч, 157 DAM (12): 2747-2761 (2009))

Cwd - це міра складності, заснована на графічних операціях, що узагальнюють конкатенацію слів. Нескінченні лічильні графіки можуть мати обмежений cwd. Ви скажете, що набір (можливо, нескінченний) графіків (скінченний чи підрахунковий) обмежує cwd, якщо існує константа k така, що будь-який графік у цьому наборі має cwd максимум k. Наприклад, повні графіки мають cwd 2, відстані спадкові графіки cwd не більше 3, ...

1) Зв'язок між cwd та modular-dec є таким: cwd (G) = max {cwd (H) | H простим у модульному розкладі G}. Отже, ви можете сказати, що cwd узагальнює той факт, що "прості графіки мають обмежений розмір". Ви можете мати графіки з простими графіками без обмеженого розміру, але з обмеженим кольором.

2) якщо розмір простих графіків обмежений, cwd обмежується. Результати в роботі, яку ви цитуєте, говорять про те, що будь-яка проблема, що виражається в MSOL, може бути ефективно вирішена в класах графіків з обмеженим КВД. Цей набір проблем включає в себе безліч NP-повних проблем: кількість кліків, стабільне число, 3-кольоровість, ...

Тут вивчаються деякі алгоритмічні аспекти модульного розкладу "Огляд алгоритмічних аспектів модульної декомпозиції" (М. Хабіб та К. Пол, огляд інформатики 4 (1): 41-59 (2010))