Чи є якісь "графічні" алгебри, які можуть описати "форму" графіків?

Однією з головних проблем перерахунку графіків є визначення «форми» графа, наприклад клас ізоморфізму будь-якого конкретного графа. Я цілком усвідомлюю, що кожен графік може бути представлений як симетрична матриця. Однак, щоб отримати його форму, вам знадобиться колекція перестановок рядків / стовпців, що робить матрицю трохи менш придатною. Також трохи важче "побачити" графік, як тільки він буде в такому вигляді.

Моє запитання: чи є якісь "графічні" алгебри, які можуть описати "форму" графіків?

Я думаю про те, які формальні системи, до яких схильні створювати алгебраїчні топологи. Зокрема, такі речі, як алгебра для вузлових інваріантів, або нотаційні системи, такі як опери або поліграфи . Такі «алгебри каракулі» майже не так добре розвинені, тому, можливо, є підстави вважати, що такої алгебри немає для графіків, але я хотів би попросити, перш ніж припускати інше.

ОНОВЛЕННЯ:

Моє запитання, ймовірно, дуже вузьке і не одразу відповідає "так", тому якщо модератори не проти, я розширюю його, запитуючи:

Чи існують існуючі системи (такі, як я описав вище), які можна було б адаптувати (легко чи іншим чином) для створення такої системи? Якщо їх більше, сміливо згадуйте про них. І киньте вже ті, про які вже говорилося.

Мотивація

Моя мотивація до такого питання насправді стосується класифікації асиметричних графіків. Я лише недолік, тому мій огляд сучасного стану теорії алгебраїчних графів досить тонкий. Але мені ще належить ще багато чого побачити, якщо вони є, намагаючись систематично описати всі графіки алгебраїчним способом, зокрема, той, який використовує візуальні метафори над символічними.

Практичний приклад, коли така система була б корисною

Припустимо, хочеться описати доказ того, що всі ейлерові графіки повинні мати вершини рівного ступеня. Стандартний доказ зазвичай використовує аргументи про парні та непарні ступені, не згадуючи фактично використані ребра. Типовий студент знайде такий доказ вперше і, ймовірно, почне малювати графіки, намагаючись переконати себе у аргументі. Але, можливо, кращим інструментом, ніж чистий «логічний» аргумент, було б показати, що будь-яка колекція «символів» з такої мови не може задовольнити певну умову «повноти».

Так, я знаю, я в цій останній частині маю рукохватку. Якби не я, хоча, мабуть, сам би почав створювати таку систему!

Але, ненадовго ігноруючи мою розпливчастість, я розумію, що багато старих і добре відомих теорем графської теорії не є складними, але потребують певної концептуалізації, щоб дійсно хороші рамки могли «зв’язати» і «упакувати» в єдине уявлення.

Багато людей намагалися знайти алгебраїчну мову для опису форми графа. Це питання по суті є тим, що мотивує структурну теорію графів .

В основі цієї області дискретної математики лежить вивчення графіків декомпозицій. Деякі з людей, які працюють у цій галузі, - Ніл Робертсон, Пол Сеймур, Робін Томас, Марія Чудновська, Крістіна Вушкович та їхні співробітники, хоча цей список упереджений моїми власними науковими інтересами.

Конкретні види декомпозиції графіків призвели до деяких найбільш загальних результатів в теорії графів. Наприклад, одним з основних технічних інструментів, розроблених для проекту неповнолітніх графів, який призвів до теореми Робертсона-Сеймура , є теорема структури графа . Це показує, що класи графіків, які виключають деякі другорядні, можуть бути складені з більш простих графіків.

У доказі теореми сильного досконалого графу було використано дещо інше розкладання. Ключовий результат: Для кожного графа Бержа$G$, або $G$ є основним, або одним із $G, \overline{G}$ допускає належне 2-з'єднання, або $G$ допускає збалансований перекос перегородки.

На сьогодні вивчені декомпозиції є певним чином не алгебраїчними. Моя особиста інтуїція полягає в тому, що є вказівки на відсутність такої "приємної" системи, як така, яку ви шукаєте. Якщо зробити цю заяву глібом точним, швидше за все, знадобиться нетривіальне підприємство в теорії кінцевих моделей, але я підозрюю, що це може призвести до нових цікавих результатів в теорії графів (успішних чи ні).

Це питання є важливим у функціональному програмуванні, оскільки звичайне представлення графіків неелегантне та неефективне для використання у суто функціональних мовах.

Милий підхід був представлений на ICFP минулого року: "Алгебраїчні графіки з класом (функціональна перлина)" , Андрій Мохов.

Я не знаю, чи повністю відповідає вашим потребам, але він може алгебраїчно представляти широкий спектр різних типів спрямованих та непрямих графіків.