Основи Грьобнера в TCS?

Хтось знає про цікаве застосування баз Грьобнера в теоретичній інформатиці?

Основи Грьобнера використовуються для розв’язання багатозмінних поліноміальних рівнянь, що є загальним завданням NP. Мені було цікаво, чи використовувались якісь спеціальні випадки, що забезпечують ефективні алгоритми / конструкції / докази в сферах TCS або TCS (комбінаторика, теорія кодування).

Основи обчислення Грьобнера, а завершення EXPSPACE загалом, знаходяться в PSPACE над булевими кільцями. Це додатки для перевірки моделей для заміни BDD: Quoc-Nam Tran, "Алгоритм PSPACE для обчислення бази Грібнера в булевих кільцях", Proc. WASET, Vol. 35, листопад 2008 р., ISSN 2070-3740

[ПРИМІТКА] Результат, в якому зазначено, що обчислення бази Грібнера в PSPACE над булевими кільцями здається помилковим, див. Марк ван Хоей, Основа Грьонера в булевих кільцях не P-SPACE , arXiv: 1502.07220 , 2015.

[ПРИМІТКА] Твердження, що результат, який стверджує, що обчислення бази Грібнера в PSPACE над булевими кільцями, здається помилковим, є помилковим. Автор плутає обчислюваність PSPACE з тим, що має розмір полінома. Функція PSPACE цілком може мати експоненціально довгий вихід.

Є цікавий том Springer про додатки баз Грьобнера в кодуванні та криптографії:

• Основи Грьобнера, кодування та криптографія , / Sala, M .; Мора, Т .; Перрет, Л.; Саката, С .; Траверсо, C. (Ред.).

Особисто я займаюся дослідженнями алгоритмів обчислення ідеалів поліномів локатора помилок (досить відома концепція в теорії кодування, особливо синдром декодування). Що стосується кодів з локалізаторів помилок алгераїчної геометрії, ідеал, як правило, є ідеалом полінома кількох змінних - саме там, де основи Грьобнера відіграють центральну роль. У вищезгаданому томі найбільш цікавою для мене частиною є опис BMS-алгоритму С. Саката та опис його застосувань для розшифровки алгебраїчних кодів геометрії.

Щойно почули під час семінару 8F

Оригінальним доказом того, що мережеве кодування може бути реалізовано в потоковій мережі, використовуються бази Gröbner.

Основи Грьобнера застосовуються для проблем із задоволенням обмежень (див. Цей грант ). На даний момент методики Грьобнера не здаються корисними для застосувань задоволення обмеженнями, оскільки вони конкурують із зрілою евристикою пошуку, методами контролю узгодженості та ефективними розповсюджувачами спеціального призначення - не кажучи вже про хороші рішення загального призначення SAT. Однак, я думаю, напевно є теоретичні можливості, які чекають їх виявлення, зокрема, коли основа Грьобнера має розумні розміри. Дивіться також статтю Jefferson, Jeavons, Green та van Dongen , представлену на MACIS 2007 (версія журналу: AMAI 67 359–382, 2013, doi: 10.1007 / s10472-013-9365-7 ), де обговорюються деякі проблеми .

Я використав основу Грьобнера, щоб допомогти знайти короткий доказ нової теореми про дихотомію для проблем #CSP над 3-регулярними графіками з єдиною функцією обмеження бінарних обмежень, що має складні ваги ( версія arXiv ).

$f \sim g$$\#\operatorname{CSP}(f) = \#\operatorname{CSP}(g)$

Основа Грьобнера використовується для перетворення з початкових чотирьох змінних, необхідних для визначення бінарної функції, до шести "симетризованих змінних", які є інваріантними в кожному класі еквівалентності (див. Розділ D зв'язаної вище статті). Однак основа Грьобнера не згадується в роботі, оскільки єдиною її метою було автоматизоване перетворення від початкових чотирьох змінних до шести симетризованих змінних у різних многочленах (що було створено GroebnerBasis від Mathematica ).

Наступний документ можна розглядати як один додаток.

• Гуннар Карлссон, Гуржет Сінгх, Афра Зомородян: Обчислювальна багатовимірна стійкість. Журнал обчислювальної геометрії, 1 (1) 2010, стор. 72-100. http://jocg.org/index.php/jocg/article/view/19

Я бачу, що автори використовують алгоритм Бухбергера як підпрограму і використовують структуру їхньої проблеми, щоб довести, що час роботи поліноміально обмежений.

Грант Пасмор та інші пишуть про них у контексті вирішувачів SMT. Я не є експертом в базах Грібнера, ні в SMT-рішеннях, тому мені важко оцінити, наскільки добре ця посилання відповідає на ваше запитання.

Для підтвердження складності використання підстав Gröbner було запропоновано Clegg, Edmonds, Impagliazzo для спростування CNF . Є випадки, коли ця система доказів експоненціально перевершує Резолюцію, але мені не здається, що реально покращується ефективність для загальних випадків.

$GF(2)$

Тим не менш, обчислення поліномів не вивчено настільки ж, як роздільна здатність, тому добре перевірена евристика недоступна.

Дивіться також це для застосування в криптоаналізі (я про це не дуже знаю).

$k$$k$

Бази Grobner використовуються для алгоритмів розшифровки найшвидшого списку кодів Рід-Соломона: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.320.1170&rep=rep1&type=pdf

Бази Грьобнера успішно використовуються для вирішення важливих задач з геометрії множинного перегляду в комп'ютерному зорі .

Слідом за http://arxiv.org/pdf/1502.05912.pdf іноді основу грабнера використовують для вирішення ізоморфізму (коли графіки кодуються системами рівнянь). Але це приєднується до використання основної основи для спростування CNFS.