Постійна матриця та від визначників

Нехай - матриця або із записами . Чи може хтось надати мені матрицю щоб ? Який найменший явний який відомий таким, що ? Будь-які посилання на це з явними прикладами? $A$ $3 \times 3$ $4 \times 4$ $a_{ij}$ $B$ $\operatorname{per}(A) = \det(B)$ $B$ $\operatorname{per}(A) = \det(B)$

Деякі обмеження можуть бути такі випадки:

Випадок $(1)$ Тільки лінійні функціонали допускаються в якості записів $B$ .

Випадок $(2)$ Нелінійні функціонали дозволені за умови, що кожен член має принаймні ступінь $O(log(n))$ (ступінь - сума ступеня змінних), де $n$ - розмір матриці, що використовується. У нашому випадку до ступеня $2$ .

cc.complexity-theory algebraic-complexity permanent

— проти
джерело

@vs Які обмеження щодо

B

$B$ ? Якщо таких немає, то

B = (\begin{matrix} per (A) \end{matrix})

$B = \begin{pmatrix} \operatorname{per}(A)\end{pmatrix}$ є матрицею

1 \times 1

$1 \times 1$ з

det (B) = per (A)

$\det(B) = \operatorname{per}(A)$ , але Я здогадуюсь, що це не те, що ти мав на увазі. Як правило , один дає елементи матриці

B

$B$ , щоб бути аффінниє лінійні функції змінних в

A

$A$ .

— Тайсон Вільямс

[EDIT]

Для узгодженості я перейшов позначення з $c(n)$ в $dc(n)$ .
Це запитало vs у коментарях, чи моя відповідь узагальнена на більш високі виміри. Це робить і дає верхню межу над будь-яким полем: Дивіться мою чернетку щодо цього: Верхня межа для постійної проти детермінантної проблеми . $d c (n) \leq 2^{n} - 1.$ $dc(n)\le 2^n-1.$

[/ EDIT]

[Побічний коментар: Я думаю, ви могли б відредагувати своє попереднє запитання замість створення нового.]

Я маю для вас наступну відповідь:

per (\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}) = det (\begin{matrix} 0 & a & d & g & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & i & f & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & c & i \\ 0 & 0 & 0 & 1 & c & 0 & f \\ e & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ h & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ b & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

$\operatorname{per}\begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}= \det\begin{pmatrix} 0 & a & d & g & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & i & f & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & c & i \\ 0 & 0 & 0 & 1 & c & 0 & f \\ e & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ h & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ b & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Зауважте, що шукаючи таких посилань на явні приклади, я не міг знайти жодного, і тому приклад, який я наводжу вам, - це приклад, який я створив.

Це запитання, яке ви задаєте, зазвичай називають "Постійна проблема з детермінантами". Припустимо , що нам дана матриця , і ми хочемо , найменшу матрицю такий , що . Позначимо через розміри найменшого такого . Ось історичні результати: $(n\times n)$ $A$ $B$ $\operatorname{per} A=\det B$ $dc(n)$ $B$

[Szegö 1913] $dc(n)\ge n+1$
[von zur Gathen 1986] $dc(n)\ge n\sqrt 2-6\sqrt n$
[Цай 1990] $dc(n)\ge n\sqrt 2$
[Mignon & Ressayre 2004] 2/2 в характеристиці $dc(n)\ge n^2/2$ $0$
[Cai, Chen & Li 2008] в характеристиці . $dc(n)\ge n^2/2$ $\neq 2$

Це показує, що (верхня межа - матриця, наведена вище). $5\le dc(3)\le 7$

Оскільки я лінивий, я просто даю вам одну довідку, де ви можете знайти інші. Це найновіший документ, який я цитував Каєм, Ченом та Лі: квадратична нижня межа постійної та визначальної задачі над будь-якою характеристикою $\neq 2$ .

Якщо ви читаєте французьку мову, ви також можете ознайомитись з моїми слайдами з цього приводу: Постійний проти Детермінант .

— Бруно
джерело

Дуже дякую. Я забув згадати, що я був знайомий з лінійними та квадратичними нижніми межами. Ваш приклад для мене новий і, звичайно, я перегляну ваші французькі слайди :)

— проти

Щоб перетворити формулу в детермінант, це (класичний?) Результат Valian у 1979 році. Ми пояснюємо цей результат у нашій статті у розділі 2.1 (cf [ arxiv.org/abs/1007.3804] ).

— Бруно

Для зауважте, що в O (n2 ^ n) є константа, так що 24 не є правильним значенням. Але я думаю, що мій приклад кращий, ніж просто застосувати формулу Райзера + побудова Валіана. Це цілком нормально, оскільки можна уявити, що перехід від постійної до формули та повернення до детермінантного - це не найкращий спосіб зробити. Я б не сказав, що мій приклад "кращий за Райзер", оскільки цілі не однакові. Зауважимо також, що формули Глінна чи Райзера не такі гарні, як тривіальна формула для , вони перемагають це лише асимптотично.

n = 3

$n=3$

n = 3

$n=3$

— Бруно

Я по-новому подивився на папери JY Cai. Теорема 3 дає кращу межу: .

c (n) \leq O (2^{n})

$c(n)\le O(2^n)$

— Бруно

@Bruno: відмінна відповідь!

— Дай Ле