Найкоротша формула для n-термінового монотонного CNF

Монотонна формула CNF з m термінами на n змінних ( ) - це формула виду , де кожен - АБО деякий підмножина змінних , становить від до . f ( x 1 , … , x n ) = ⋀ C i C i x 1 , … , x n i 1 $x_1,\ldots,x_n$$f(x_1,\ldots,x_n) = \bigwedge C_i$$C_i$$x_1,\ldots,x_n$$i$$1$$m$

Наприклад, - монотонна формула CNF з 2 термінами на 4 змінних.$(x_1 \vee x_3 \vee x_4) \wedge (x_2 \vee x_4)$

Я шукаю найкоротшу формулу (не обов'язково монотонну, не обов'язково CNF, будь-яка формула буде робити!) На тому ж наборі змінних, що представляє ту саму функцію, що й задана монотонна формула CNF на n змінних з n термінами. (Зверніть увагу, що кількість термінів і змінних однакова.)

Одним із очевидних способів побудови формули є розширення даного визначення CNF, яке дасть нам формулу розміру . (Давайте визначимо розмір формули, який буде довжиною формули, коли вона записується у вигляді рядка.) Я хочу знати, чи це найбільш ефективна загальна побудова, або якщо для кожного n-строкового монотонного CNF існує формула розміру .o ( n 2$O(n^2)$$o(n^2)$

Я просто хочу знати, чи можливо це, мене не дуже цікавить алгоритм. Якщо це неможливо, було б чудово функцію, яка виконує функцію контрприкладу. Також вдячні вказівки, де я можу знайти відповідь у літературі.

EDIT: Я додаю приклад, щоб зробити тонші яснішими.

Скажімо, формула введення . Це монотонна формула CNF. Коротка формула, яка представляє ту саму функцію, така: .x 1 ∨ ( x 2 ∧ x 3 ∧ … ∧ x n$f = (x_1 \vee x_2) \wedge (x_1 \vee x_3) \wedge \ldots \wedge (x_1 \vee x_n)$$x_1 \vee (x_2 \wedge x_3 \wedge \ldots \wedge x_n)$

Ви можете отримати нижню межу використовуючи аргумент підрахунку: є -термінні CNF на змінних (це легко, але вимагає лише невеликого догляду, щоб зробити переконайтесь, що немає перенарахування), але є формули розміром (або навіть схеми) розміром не більше . e x p ( n 2 ) n n e x p ( s log s ) $\Omega(n^2/\log n)$$exp(n^2)$ $n$$n$$exp(s \log s)$$s$

Здається, що виграти останній фактор буде важко, оскільки це вимагатиме довести квадратичну нижню межу щодо розміру формули, і я гадаю, що декількох існуючих методів для цього недостатньо. навіть може бути правильною відповіддю - принаймні для розміру ланцюга - з використанням якоїсь чотириросійської техніки .O ( n 2 / log n $\log n$$O(n^2/\log n)$

Враховуйте, що для будь-якого CNF ви можете обчислити набір простих імплікацій (серед яких будь-який мінімум повинен бути підмножиною), взявши закрите рішення під роздільною здатністю та застосувавши усунення підзарядки.

Однак у випадку будь-якого монотонного CNF закриття роздільної здатності є (оскільки немає негативних літералів, роздільна здатність неможлива). Отже, мінімальний показник CNF - це сукупність простих імплікацій, що є саме такою формулою, яку ви вже маєте.F $F$$F$$F$

Звичайно, я припускаю, що ви не хочете вводити нові змінні.

Якщо ви хочете переконатися, що у вас є якась формула, яка має термінів, то, як ви пропонуєте, єдиний спосіб отримати це розширити деякі пропозиції, додавши відсутні змінні. Будь-яка така CNF повинна мати однакову кількість буквених значень (мір, який ви пропонуєте, я вважаю) для фіксованих і .f $n$$f$$n$