Головоломка вирізання

Проблема: нам надають набір паличок, всі мають цілі довжини. Загальна сума їх довжин - n (n + 1) / 2.

Чи можемо ми їх розбити, щоб отримати паліноми розміром за багаточлен? ${1,2,\ldots,n}$

Дивно, але єдине посилання, яке я знаходжу на цю проблему, - це давня дискусія:

http://www.iwriteiam.nl/cutsticks.html

Що ще відомо про проблему? Чи можемо ми довести, що проблема знаходиться в кінцівці?

Оновлення: Проблема різання паличок має обмеження, що кожна палиця має довжину не менше одиниць. (Див. Коментарі та відповідь Цуйосі на необмежений випадок).$n$

Увага: Коли Юкка Суомела коментує питання, сторінка, пов’язана з питанням, стосується проблеми, відмінної від проблеми, зазначеної в питанні, оскільки проблема на сторінці має обмеження, що довжина заданих паличок більша або дорівнює н. Ця відповідь стосується проблеми без цього обмеження. Оскільки коментар Еміля до цього питання стосується проблеми із обмеженням, між його коментарем та наступною відповіддю немає суперечності.

Проблема не заповнена NP, навіть якщо цифри вказані не одинаково.

Проблема з 3 розділами полягає в наступній задачі:
Екземпляр : Позитивні цілі числа a ₁ ,…, _n в одинарних, де n = 3m і сума n цілих чисел дорівнює mB, так що кожне a _i задовольняє B / 4 < a _i <B / 2.
Запитання : Чи можна розділити цілі числа a ₁ ,…, _n на m мультисети, щоб сума кожного багатозначного рівня була дорівнює B?

Проблема 3-х розділів є NP-повною, навіть якщо ₁ ,…, _n є всіма чіткими [HWW08] (дякую Сергію Гасперсу, що розповіли про це ). Можна звести цю обмежену версію проблеми 3-розділів до проблеми, про яку йдеться, наступним чином.

Припустимо, нам подано екземпляр 3-роздільної задачі, що складається з чітких натуральних чисел a ₁ ,…, a _n . Нехай m = n / 3 і B = (a ₁ +… + a _n ) / m, а N - максимум серед a _i . Розглянемо наступний екземпляр проблеми палиці: екземпляр складається з однієї палички довжиною k для кожного k∈ {1,…, N} ∖ {a ₁ ,…, a _n } і m паличок довжиною B. Використовуючи факт що кожне a _i задовольняє _i > B / 4 ≥ N / 2, легко довести, що ця проблема з палицею має рішення тоді і лише тоді, коли екземпляр проблеми 3-розділів має рішення.

Список літератури

[HWW08] Хезер Хюлетт, Тодд У. Вілл, Герхард Дж. Уогенгер. Мультиграфічна реалізація ступеневих послідовностей: Максимізація проста, мінімізація складна. Листи з дослідження операцій , 36 (5): 594–596, вересень 2008 р. Http://dx.doi.org/10.1016/j.orl.2008.05.004