Провідність і діаметр у звичайних графіках

Враховуючи непрямий, правильний графік , яка залежність між його діаметром - визначається як найбільша відстань між двома вузлами - та його провідністю, визначеною як де - кількість ребер, що перетинаються між і . $G=(V,E)$

min_{S \subset V} \frac{e (S, S^{c})}{min (| S |, | S^{c} |)},

$\min_{S \subset V} ~\frac{e(S,S^c)}{\min(|S|,|S^c|)},$

e (S, S^{c})

$e(S,S^c)$

S

$S$

S^{c}

$S^c$

Більш конкретно припущу , що я знаю , що діаметр, по крайней мере (або в більшості) . Що це говорить мені про провідність, якщо що? І, навпаки, припустимо, я знаю, що коефіцієнт провідності не більше (або принаймні) . Що це говорить мені про діаметр, якщо що? $D$ $\alpha$

graph-theory co.combinatorics expanders

— Робінзон
джерело

Схоже, властивість, яку ви запитуєте, - це розширення графіка замість провідності графіка, яке визначається як , де визначається як . Яка з них є власністю, яку ви хочете ??

min_{S \subseteq V} e (S, \bar{S}) / min {v o l (S), v o l (\bar{S})}

$\min_{S \subseteq V} \ {e(S,\overline{S})}/{\min\{\mathsf{vol}(S), \mathsf{vol}(\overline{S})\}}$

v o l (S)

$\mathsf{vol}(S)$

\sum_{v \in S} \deg (v)

$\sum_{v \in S} \deg(v)$

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@ Hsien-Chi Chang - оскільки графік регулярний, я вважаю, що провідність і розширення повинні бути однаковими до мультиплікативного коефіцієнта ступеня .

d

$d$

— robinson

Ах, я не помітив, що графік регулярний. Дякую за пояснення.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@ Hsien-ChihChang 張顯之: Я думав, розширення графіка та провідність графіка - це одне і те ж поняття. Чи є у вашому коментарі посилання на визначення?

— Тім

Як зазначає Гсі, ваше визначення коефіцієнта провідності відхиляється від того, кого я знаю, коефіцієнтом , де - ступінь регулярного графіка. Це також відоме як розширення краю для звичайних графіків. $d$ $d$

Зв'язок між розширенням краю та діаметром досить легко показати. Інтуїтивно розширювач "схожий" на повний графік, тому всі вершини "близькі" один до одного. Більш офіційно, нехай

min_{S \subseteq V} \frac{e (S, S^{c})}{d \cdot min {| S |, | S^{c} |}} \geq α

$\min_{S \subseteq V}\ { \frac{ e(S, S^c) }{ d \cdot \min\{|S|, |S^c|\} }} \geq \alpha$

Візьміть будь-який набір вершин з . Є принаймні ребра , що виходять з і так як є -Регулярно, околиця ( в тому числі самого) має розмір , щонайменше . Застосовуючи цю вимогу індуктивно, починаючи з для будь-якої вершини $S$ $|S| \leq |V|/2$ $\alpha d |S|$ $S$ $G$ $d$ $S$ $S$ $(1+\alpha)|S|$ $S = \{u\}$ $u$ , Ми бачимо , що в протягом деякого , «и -го кроку район має розмір , по крайней мере . Отже, околиця -hop будь-якої вершини має перетинати околиці -hop , або графік матиме більше вершини, протиріччя. Отже, у вас є $t = O(\log_{1 + \alpha } |V|)$ $u$ $t$ $|V|/2$ $t+1$ $v$ $t$ $u$ $|V|$

D = O (\frac{\log | V |}{\log (1 + α)})

$D = O\left(\frac{\log |V|}{\log (1 + \alpha)}\right)$

Звичайно, також випливає, що наявність нижньої межі діаметра передбачає верхню межу розширення краю.

Я не думаю, що малий діаметр означає провідність. Якщо ви не наполягаєте на звичайних графах (і використовуєте визначення Hsieh), то два повних графіки, з'єднані одним краєм, дають контрприклад.

— Сашо Ніколов
джерело

Я збираюся опублікувати відповідь, і тепер я цього не маю, я можу просто висловити вашу замість цього;) Дякую за хорошу відповідь!

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Я сподіваюсь, що загальний час, який ви і я витратили далеко на дослідження, було зведено до мінімуму :)

— Сашо Ніколов

@robinson: цей простий факт і швидке змішування є основою багатьох (більшості?) застосувань сімейств розширень звичайних графіків. властивість малого діаметра, наприклад, є основою програми для вирішення стихійних зв'язків у логістичному просторі

— Ніколов

у моїй оригінальній відповіді була помилка: аргумент, який я написав, стосувався розширення вершин, але ми працюємо з розширенням краю. я виправив помилку, а тепер пов'язане трохи гірше

— Сашо Ніколов