Враховуючи зважений даг, чи існує алгоритм O (V + E) для заміни кожної ваги на суму ваги її предка?

Проблема, звичайно, у подвійному рахунку. Це досить просто зробити для певних класів DAG = дерево, або навіть послідовно-паралельне дерево. Єдиний алгоритм, який я знайшов, який працює на загальних DAG в розумний час, є приблизним (дифузія синопсису), але підвищення його точності є експоненціальним у кількості бітів (і мені потрібно багато бітів).

Передумови: це завдання виконується (кілька разів з різними "вагами") як частина обчислень ймовірності в BBChop (http://github.com/ealdwulf/bbchop) програма для пошуку перервних помилок (тобто байєсівська версія " git bisect '). Отже, DAG, про який йдеться, є історією перегляду. Це означає, що кількість ребер навряд чи наблизиться до площі кількості вузлів, ймовірно, вона буде меншою, ніж k, ніж кількість вузлів для деякого невеликого k. На жаль, я не знайшов жодних інших корисних властивостей ревізійних DAG. Наприклад, я сподівався, що найбільший триконечно пов'язаний компонент буде рости лише як квадратний корінь кількості вузлів, але, на жаль (принаймні, в історії ядра Linux) він росте лінійно.

Ми припускаємо, що ваги вершин можуть бути довільними натуральними цілими чи, точніше, вони можуть бути додатними цілими числами не більше 2 ⁿ . Тоді поточне завдання не може бути виконано навіть у трохи слабший часовий зв'язаний O ( n ² ), якщо тільки транзитивне закриття довільно спрямованого графа не може бути обчислене за час O ( n ² ), де n позначає кількість вершин. (Зверніть увагу, що алгоритм часового переходу O ( n ² ) для перехідного закриття буде проривом.) Це протипоказання наступної формули:

Претензія . Якщо поточне завдання можна виконати в часі O ( n ² ), перехідне закриття довільно спрямованого графа, заданого як його матриця суміжності, може бути обчислено за час O ( n ² ) (припускаючи деяку розумну обчислювальну модель).

Доказ . В якості попередньої обробки ми обчислюємо сильно пов'язане розкладання компонентів заданого спрямованого графіка G за час O ( n ² ) для отримання DAG G ′. Зверніть увагу , що якщо ми можемо обчислити транзитивне замикання G ', ми можемо реконструювати транзитивне замикання G .

Тепер призначте вагу 2 ⁱ кожній вершині i DAG G ′ і використовуйте алгоритм для поточної проблеми. Тоді двійкове представлення суми, присвоєної кожній вершині i описує саме множину предків i , іншими словами, ми обчислили перехідне закриття G ′. QED .

Зворотне твердження також має місце: якщо ви можете обчислити перехідне закриття заданої DAG, легко обчислити необхідні суми додатковою роботою в часі O ( n ² ). Тому теоретично можна досягти поточного завдання в часі O ( n ^2.376 ), використовуючи алгоритм перехідного закриття на основі алгоритму множення матриці Копперсміта-Винограда .

Правка : Версія 2 та новіші версії не висловлювали явно припущення про діапазон ваг вершин. Пер Вогсен в коментарі зазначив, що це неявне припущення може бути нерозумним (спасибі!), І я згоден. Навіть якщо довільні ваги не потрібні в додатках, я думаю, що ця відповідь може виключати деякі підходи наступним рядком міркувань: «Якщо такий підхід спрацював, він дав би алгоритм довільних ваг, який не виключається, якщо тільки перехідні закриття може бути обчислено в часі O ( n ² ). "

Редагувати : У версії 4 та попередній версії неправильно вказано напрямок ребер.

Це розширення мого коментаря до відповіді Цуйосі. Я думаю, що негативну відповідь на питання можна зробити безумовною.

$\omega(n)$$O(n)$

$G_{r,c}$$r \times c$$r$$r$$c$

$r = (\log\ n)/2$$c = 2n/\log\ n$

$\sqrt{n}$$\omega(\log\ n)$

$\omega(n)$$2c(r-1) = O(n)$

Справа в тому, що основний частковий порядок щільний, але DAG являє собою його транзитивне зменшення, яке може бути рідким.

Це неправильно і ґрунтується на нерозумінні питання. Дякую Цуйосі, що терпляче вказав на мою помилку. Покидання, якщо інші помиляються.

$k$

$k$$O(k|V|)$

$O(|V|+|E|)$

Цей підхід також повинен добре працювати, якщо є деякі вузли з багатьма безпосередніми попередниками, якщо вони відносно нечасті.