PARITY із обмеженим вентилятором: простий доказ?

$AC^0$ - клас мікросхем поліноміального розміру постійної глибини з воротами НЕ та немежуючими вентиляційними входами ІЛ та АБО, де входи та ворота також мають необмежену вентиляцію.

Тепер розглянемо новий клас, називаємо його який схожий на але для якого входи та ворота мають максимум . Цей клас чітко в . Насправді він суворо міститься в , як зазначено тут . Тому PARITY, очевидно, не в . $AC^0_{bf}$ $AC^0$ $O(1)$ $AC^0$ $AC^0$ $AC^0_{bf}$

Чи є доказ парності яка не НЕ також пройти для ? Іншими словами, чи існує доказ, який не використовує таких потужних методик, як лемма переключення чи метод Разборова / Смоленського? $\notin AC^0_{bf}$ $AC^0$

cc.complexity-theory circuit-complexity

— Адам Паетник
джерело

Це називається в літературі: qwiki.stanford.edu/index.php/Complexity_Zoo:N#nc0

{N C}^{0}

$\mathsf{NC}^0$

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Ні, це не так, оскільки фанін необмежений.

— domotorp

Ах, я неправильно прочитав слово fanout. Дякуємо, що вказали.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Пов’язана публікація від @Kaveh: cstheory.stackexchange.com/q/1824/1800 , перейшла з коментарів нижче, щоб збільшити вплив.

— Сісен-Чі Чанг 21 之

Що, до речі, "обмежений фан"?

— xxx ---

Відповіді:

Я можу щось пропустити, але хіба є такою ж, як Формула? Оскільки кожен вхідний біт може мати вплив на щонайменше обмежену кількість воріт, ми можемо просто припустити, що кожен затвор має лише один вихід (після можливого дублювання кількох речей), і ми можемо також відсунути не ворота. Ми знаємо, що розмір парності формули n ^ 2 (див. Трой Дж. Лі, « Розмір формули PARITY », 2007), і оскільки на кожному рівні нашого кола ми можемо мати лише O (n) ворота, це показує, що парність не в . $AC^0_{bf}$ $AC^0_{bf}$

— домоторп
джерело

тому під формулою ви маєте на увазі формулу лінійного розміру, правда? а за розміром ви маєте на увазі розмір формули ...

— Алессандро Косентіно

Я думаю, що ваша відповідь в кінці кінців правильна, але міркування є більш тонкими. Вентиляція на воротах може бути зменшена шляхом дублювання частин схеми, але це збільшує розмір формули. (Розмір формули еквівалентний кількості вхідних проводів.) Скажіть, що вентиляція вентиляції становить не більше 2. Потім для зменшення вентиляції затворів нижнього шару мені потрібно дублювати кожен затвор і кожен вхід, подвоюючи розмір формули. Повторення цього процесу для кожного шару дає формулу розміру

де

- глибина ланцюга. У нашому випадку

є постійною, тому розмір формули все ще лінійний.

O (2^{d} n)

$O(2^dn)$

d

$d$

d

$d$

— Адам Паетник

Це саме я мав на увазі, вибачте, якщо моя експозиція була поганою.

— domotorp

@Alessandro: Вибачте, якщо я неправильно зрозумів ваше запитання. Але моє перше враження полягає в тому, що можна перетворити будь-яку схему глибини d розміром у формулу глибини d (розмір 1) розміром приблизно : просто переходити пошарово, починаючи знизу (поруч із входами) шару, і візьміть кілька копій одного і того ж ворота; на кожному шарі кількість воріт може збільшитися НЕ більш ніж на фактор . Це означає, що будь-яка нижня межа для формул передбачає нижню межу для ланцюгів $S$ $S^d$ $S$ $S$ $AC^0$ $S^{1/d}$ $AC^0$ . Отже, важко очікувати простіших доказів нижньої межі для формул : у світі , - константа. $AC^0$ $AC^0$ $d$

До речі, ваша мова (рядки з точно одним ) має тривіальний DNF ( формула глибини-2 ) з мономерами. $X$ $1$ $n$

— Стасіс
джерело

мені здається, що ми можемо зробити краще, ніж

оскільки вентилятори обмежені, ми можемо отримати

де

- максимальний вентилятор. Більше того, оскільки кожен вхідний біт використовується лише обмеженою кількістю разів, розмір ланцюга (

) є лінійним.

S^{d}

$S^d$

k^{d} S

$k^dS$

k

$k$

S

$S$

— Kaveh

Ще один спосіб побачити, що

суворо міститься в

- це зазначити, що оскільки кожен вхідний біт має максимум k, то в першому шарі є максимум

воріт, а

ворота в другий шар тощо. Оскільки глибина постійна, це означає, що ланцюг має загальну кількість

воріт. Таким чином, будь-яка функція

яка потребує надлінійних розмірів схем, не знаходиться в

A C_{b f}^{0}

$AC^0_{bf}$

A C^{0}

$AC^0$

k n

$kn$

k^{2} n

$k^2n$

O (n)

$O(n)$

A C^{0}

$AC^0$

A C_{b f}^{0}

$AC^0_{bf}$

— Робін Котарі

Хтось може мені сказати, чому ця модель "не більше, ніж k копій вхідної змінної" цікава? Навіть коли глибина постійна. У якому контексті виникає така модель? Я просто цікавий.

— Стасіс

@Stasys, і Адамове, і моє запитання виникають із роботи над квантовим класом

, який визначений без вентиляційного вентиля.

Q A C^{0}

$QAC^0$

— Алессандро Косентіно,

@Adam: Дякую, на самому ділі, domotorp вже згадували не-

аргумент (Храпченко). Як зауважив cstheory.stackexchange.com/questions/1824/… Робін Котарі, є ще один такий аргумент, як у Кричевського, який показує, що функція порогу-2 потребує формул розміром приблизно

. Ще краще, відомо, що всі, крім 16 симетричних булевих функцій, потребують формул надлінійного розміру. Отже, на ваше запитання однозначно відповідають "так".

A C^{0}

$AC^0$

n \log n

$n\log n$

— Стасіс