Нехай - простий графік на n вершин ( n > 3 ) без вершини ступеня n - 1 . Припустимо, що для будь-яких двох вершин G існує унікальна вершина, що примикає до обох. Це вправа з курсу "Комбінаторика" Ван Лінта та Вілсона, щоб довести, що такий графік є регулярним.
Однак моє запитання полягає в тому, чи існують графіки, що задовольняють заданим обмеженням. Під час обговорення оригінальної вправи під час сеансу вирішення проблем хтось запитав, чи можна придумати приклад графіка, де кожна пара вершин має унікального спільного сусіда, а глобальних вершин немає. Ми також не змогли придумати конкретний приклад чи процедуру будівництва, а також не встановили доказ того, що жоден графік не має цих властивостей.
Будь-які пропозиції?
Примітка: що стосується доказування того, що такий графік є регулярним, він виявляється досить простим, груба ідея полягає в тому, щоб з’єднати сусідів кожної пари вершин, використовуючи критерії унікального загального сусіда, щоб встановити факт, що кожна пара вершини мають однаковий ступінь, і тоді аргумент транзитивності за допомогою неглобального вершинного обмеження дає нам зрозуміти, що графік є регулярним.