Найбільш ефективний спосіб перетворити ланцюг

EDIT (22 серпня 2011 р.):

Я ще більше спрощую питання і ставлю щедру за це питання. Можливо, на це простіше запитання буде легка відповідь. Я також збираюся прокреслити всі частини оригінального питання, які вже не є актуальними. (Дякую Стасісу Юкні та Райану О'Доннел за часткову відповідь на оригінальне запитання!)

Фон:

Враховуючи ланцюг змінного струму AC ⁰ з глибиною k і розміром S, існує ще одна схема змінного струму AC ^{0, що} обчислює ту саму функцію з глибиною k і розміром , що нова схема має вентилятор = 1 для всіх воріт. Іншими словами, схема виглядає як дерево (за винятком входів, оскільки входи можуть бути більш ніж одними воротами). Один із способів зробити це - дублюючи всі ворота, які мають fanout> 1, поки всі ворота не мають fanout = 1.$O(S^k)$

Але це найефективніший спосіб для перетворення змінного струму ⁰ ланцюгів до мережі змінного струму ⁰ ланцюгів з 1 розгалуження? Я читав наступне у лекції 14 із курсових записок Райана О'Доннелла :

Чи означає це, що існує спосіб взяти будь-яку схему глибини k AC ⁰ розміром S та перетворити її в ланцюг змінного струму ⁰ з вентилятором 1, глибиною k та розміром ? Якщо так, як це робиться і чи це найвідоміший метод? $(2kS)^2$

Оригінальне запитання:

Беручи під увагу змінного струму ⁰ контур з глибини до і розміру S, що це найкращий відомий метод (з точки зору мінімізації розміру схеми результуючого контуру) перетворення цього до мережі змінного струму ⁰ схеми глибини до воріт і розгалуження 1? Чи відомі для цього нижні межі?

Новіше, простіше запитання:

Це питання є розслабленням вихідного, коли я не наполягаю на тому, щоб отриманий контур був постійною глибиною. Як було пояснено вище, існує спосіб перетворити ланцюг змінного струму ⁰ глибиною k, розміром S у ланцюг розміром таким чином, щоб нова схема мала вентиляцію = 1 для всіх воріт. Чи є краща конструкція?$O(S^k)$

З огляду на ланцюг змінного струму ⁰ з глибиною k і розміром S, який найвідоміший метод (з точки зору мінімізації розміру ланцюга результуючої ланцюга) перетворення цього на ланцюг будь-якої глибини за допомогою вентилятора 1 на воротах?

Я спробую узагальнити свої попередні коментарі.

Давайте спочатку проігноруємо той факт, що ваша початкова схема має (постійну) глибину ; просто припустимо , що має розмір S . Нехай A - найменше число, таке, що кожний необмежений фаніновий контур розміром S може бути перетворений у формулу без обмеженого фаніну F розміром O ( S A ) . Я стверджую, що найкраще, що ми можемо зробити, це досягти A = O ( S / log 2 S ) . Скажімо, навіть невідомо, чи є (фарин-2) схема розміром S = O ( n $k$$S$$A$$S$$F$$O(S^A)$$A=O(S/\log^2 S)$$S=O(n)$можна моделювати за формулою розміром, меншим, ніж .$\exp(n/\log n)$

Для того, щоб показати твердження, перетворимо формулу в Fanin-2 формули F ' розміром M = O ( S 2 ) . Добре відомо, що глибина D кожної формули F ' може бути зроблена логарифмічною за своїм розміром, тобто D = O ( log M ) = O ( A log S ) . [Це вперше показав Храпченко 1968 року, а потім константа під великим O була вдосконалена до D ≤ 1,73 log 2$F$$F′$$M=O(S^{2A})$$D$$F′$$D=O(\log M)=O(A\log S)$$D\leq 1.73\log_2M$з іншого боку.] З іншого боку, найвідоміший результат для схем фанін-2 [Paterson and Valiant, TCS 2 (3), 397-400] говорить, що . Таким чином, моделювання з A набагато меншим, ніж S / log 2 S , покращило б найвідоміше моделювання розміру за глибиною для схем.$Depth=O(Size/\log Size)$$A$$S/\log^2 S$

Це, однак, лише "слово обережності" - це не відповідає на ваше запитання, оскільки ви припускаєте, що ваша початкова схема має постійну глибину , маючи на увазі, що в цьому випадку ми можемо просто взяти A = k (або A = k - 1 якщо у нас є єдиний вихідний затвор). Сила імітації Патерсона-Валіанса полягає в тому, що воно застосовується до довільних, навіть дуже неврівноважених схем, глибина яких становить майже весь розмір! Але у ваших налаштуваннях обмеженої глибини навіть випадок k = 3 не зрозумілий: чи може кожна схема глибини-3 розміром S перетворитись у формулу глибини-3 розміром, значно меншим, ніж S $k$$A=k$$A=k−1$$k=3$$S$$S^2$? Я думаю, що відповідь має бути «ні» (це може бути цікавою вправою для студентів). Формула на глибині 3 - це просто велика АБО CNF. Питання полягає в тому, щоб знайти АБО CNF, які поділяють багато загальних положень, але в іншому випадку вони "дуже різні", щоб застосувати велику формулу глибини 3.

Проблема полягає в тому, що ми хочемо отримати формулу (схема fanout-1). Як було зазначено вище, дозволяючи воротам fanout-2 спрощення моделювання спрощується: Гувер, Клауве і Піппенгер [JACM 31 (1), 1980] показують, що будь-яка схема фанін-2 розміром і глибиною D має еквівалент фанін-2 і фанут -2 схема розмір 3 S - 2 л і глибиною 2 D . Таким чином, якщо фанін не обмежений, то отримана схема матиме розмір O ( S 2 ) і глибину O ( D log S ) .$S$$D$$3S−2n$$2D$$O(S^2)$$O(D\log S)$

Є ще один результат, якимось чином пов'язаний із вашим запитанням. Ложкін (1981) показав , що якщо логічне значення функції може бути обчислена з допомогою C 0 формули глибини до і розміру S , то F може бути обчислена з допомогою Fanin-2 формули глибини D ≤ K - 1 + ⌈ увійти 2 S ⌉ (це випливає з теореми 6.2 в моїй книзі). Зверніть увагу , що тривіальне верхню межі буде тільки D ≤ K увійти S (якби змоделювати кожні окремі ворота з допомогою дерева глибини журналу S ).$f$$AC^0$ $k$$S$$f$$D\leq k-1+\lceil\log_2S\rceil$$D\leq k\log S$$\log S$