Структура даних для мінімальних точкових запитів продукту

$\mathbb{R}^n$$\langle \cdot, \cdot \rangle$$m$$v_1, v_2, \ldots, v_m$$x \in \mathbb{R}^n$Про ( п т ) п = 2 O ( увійти 2 м $\min_i \langle x, v_i \rangle$$O(nm)$$n = 2$$O(\log^2 m)$

Єдине, що я можу придумати, - це наступне. Безпосереднім наслідком леми Джонсона-Лінденштраусса є те, що для кожного і розподілу на існує лінійне відображення (який можна оцінити за час ) таким чином, що . Отже, за часом O ((n + m) \ log m) ми можемо обчислитиD R n f : R n → R O ( журнал m $\varepsilon > 0$$\mathcal{D}$$\mathbb{R}^n$$f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{O(\log m)}$$O(n \log m)$$\mathrm{Pr}_{x \sim \mathcal{D}}\left[\forall i \quad \langle x, v_i \rangle - \varepsilon (\|x\| + \|v_i\|)^2 \leq \langle f(x), f(v_i)\rangle \leq \langle x, v_i \rangle + \varepsilon (\|x\| + \|v_i\|)^2 \right] \geq 1 - \varepsilon$$O((n + m) \log m)$щось, яке в деякому сенсі близьке до $\min_i \langle x, v_i \rangle$ для більшості $x$ (принаймні, якщо норми $\|x\|$ та $\|v_i\|$ малі).

UPD Вищезазначене обмеження може бути дещо заточене до часу запиту $O(n + m)$ якщо ми використовуємо хеш-чутливість до місцевості. Точніше, ми вибираємо $k := O(\frac{1}{\varepsilon^2})$ незалежні гауссові вектори $r_1, r_2, \ldots, r_k$ . Тоді ми відображаємо $\mathbb{R}^n$ до $\{0,1\}^k$ так: $v \mapsto (\langle r_1, v \rangle \geq 0, \langle r_2, v \rangle \geq 0, \ldots, \langle r_k, v \rangle \geq 0)$ . Тоді ми можемо оцінити кут між двома векторами в межах додаткової помилки $\varepsilon$ , $\ell_1$ у зображенні цього відображення. Таким чином, ми можемо оцінити крапкові продукти в межах помилки добавки$\varepsilon \|x\| \|v_i\|$в $O(\frac{1}{\varepsilon^2})$ час.

Розглянемо особливий випадок, коли ви просто хочете визначити, чи ваш запит вектор ортогональний деякому вектору вашої попередньо обробленої колекції. (Тобто ви хочете визначити, чи , де вектори, що обговорюються, мають негативні коефіцієнти.) Цей випадок вже дуже цікавий.$\min_i \langle x, v_i \rangle = 0$

Припустимо, ви можете відповідати на запити в час для деякого , з попередньою (the градуси полінома не повинні залежати від або або ).$n^{O(1)} m^{1-\delta}$$\delta > 0$$m^{O(1)} n^{O(1)}$$m$$n$$\delta$

У статті "Новий алгоритм оптимального задоволення 2 обмежень та його наслідки" я зауважив, що така структура даних фактично дозволить вам вирішити CNF-SAT за час протягом деякого , де - кількість змінних. Це спростувало б "Гіпотезу сильного експоненціального часу", що k-SAT вимагає по суті часу для необмеженого .$2^{\alpha v}$$\alpha < 1$$v$$2^n$$k$

Щоб зрозуміти, чому, припустимо, час попередньої обробки обмежений . Розглянемо формулу CNF з змінними і пропозиціями. Ми розділили набір змінних на дві частини і розміром і відповідно. Перерахуйте всі можливі присвоєння змінним у частинах (отримання та призначення відповідно). Пов’яжіть кожне з цих часткових призначень з вектором де якщо$(nm)^c$$F$$v$$n$$P_1$$P_2$$v(1-1/(2c))$$v/(2c)$$2^{v(1-1/(2c))}$$2^{v/(2c)}$$A_i$$n$$w_i$$w_i[j]=1$$j$й розділ не задовольняє . Отже, у нас є два списки експоненціально багатьох бітових векторів.$F$$A_i$

Зауважте, що є задоволеним, якщо є вектор з призначення на і вектор з призначення на таким, що .$F$$w_1$$P_1$$w_2$$P_2$$\langle w_1, w_2 \rangle = 0$

Тепер нехай і попередньо обробляє передбачувану структуру даних з усіма векторами з частини . Це вимагає часу, за припущенням. Запустіть алгоритм запиту на всіх векторах із завдань по частині . За припущенням, це займе . Нехай .$m=2^{v/(2c)}$$P_2$$n2^{v/2}$$P_1$$2^{v(1-1/(2c))} \cdot n^{O(1)} m^{1-\delta} = n^{O(1)} 2^{v - \delta v/(2c)}$$\alpha = 1 - \delta/(2c)$

Можливо, можливо отримати ефективну попередню обробку і час запитів за допомогою існуючих методів. Найбільш відомі алгоритми CNF-SAT не виключають цього. (Вони отримують щось на зразок .) Але для обчислення є дещо сильнішим - у цій установці це було б як рішення MAX CNF-SAT.$n^{O(1)} m^{1-1/(\log \log m)}$$2^{n-n/\log n}$$\min_i \langle x, v_i\rangle$

Ось одна ідея на точну відповідь, на яку я підозрюю, що Чао Сю може натякнутись. По-перше, зауважте, що ми можемо нормалізувати , як вказує Чао. Тепер розглянемо гіперплощину нормі до напрямку . Мета - знайти точку, найближчу до цієї гіперплани. За подвійністю це відповідає запиту зйомки променями в розташуванні гіперпланів, щоб знайти найближчу площину "вище" точки запиту. Оскільки це можна заздалегідь обробити, головна складність полягає у розташуванні точки, і тому ваша проблема зводиться до складності здійснення точки розташування в розташуванні гіперплощин. Використовуючи живці, це можна зробити за час у просторі.$x$$h$$x$$O(\log n)$$n^d$