Чи відомі проблеми ПРАМИ, ФАКТОРИНГИ, які є P-жорсткими?

Нехай PRIMES (він же тестування первинності ) є проблемою:

З огляду на натуральне число , є просте число? $n$ $n$

Нехай проблема FACTORING :

Враховуючи натуральні числа , при , чи має коефіцієнт з ? $n$ $m$ $1 \leq m \leq n$ $n$ $d$ $1 < d < m$

Чи відомо, чи PRIMES є P-жорстким? Як щодо ФАКТОРИНГУ? Які найбільш відомі нижчі межі для цих проблем?

— км
джерело

Ні, IIRC відкритий, якщо Primes є P-жорстким. Я думаю, те саме стосується і ФАКТОРИНГУ.

— Kaveh

Я думаю, альтернативне питання може бути: чи є якісь наслідки для PRIMES або FACTORING бути P-hard?

— Суреш Венкат

@Suresh: це приємне питання. Чи можете ви опублікувати його окремо?

— Андрас Саламон

Насправді його вже просили про факторинг: cstheory.stackexchange.com/questions/5096/…

— Suresh Venkat

@ Артем, я погоджуюся з Андрашем, питання про наслідки P-жорсткості Primes було б цікавим. Я також редагував це питання, додавши запитання про найвідоміші нижні межі.

— Kaveh

Відповіді:

PRIMES, як відомо, є важким для . Дивіться мій документ із Саксом та Шпарлінським, " Нижня межа первинності " у JCSS 62 (2001). Відтоді жодного покращення на цьому фронті. $\mathsf{TC^0}$

— Ерік Аллендер
джерело

чи знаєте ви, чи має місце цей результат твердості, якщо ми хочемо лише випадкових

з усіх

бітних цілих чисел, що підлягають врахуванню? Зрештою, це все-таки може бути в

так?

\frac{1}{n}

$\frac1 n$

n

$n$

A C C^{0}

$ACC^0$

— Т ....

Факторинг може бути досягнутий за допомогою квантової схеми глибини і попередньої та післяобробки ZPP; дивіться цей документ . Якби це було P-жорстко, будь-який алгоритм P може бути виконаний за допомогою квантової схеми глибини та з тими ж етапами попередньої та після обробки. Я вважаю, що ці кроки - це модульна експоненція та тривалі дроби, які, здається, навряд чи є досить потужними для вирішення задач, повних P, навіть із додаванням квантового ланцюга глибокого полілога . $n$ $n$ $n$

— Петро Шор
джерело