Наслідки і ?

Ми знаємо, що якщо то весь PH руйнується. Що робити, якщо ієрархія поліномів частково руйнується? (Або як зрозуміти, що PH може обвалитися вище певної точки, а не нижче?)$P=NP$

Коротше кажучи, якими були б наслідки та ?P ≠ N $NP=coNP$$P\ne NP$

Для мене одним з найбільш основних і дивних наслідків є наявність коротких доказів для цілого ряду проблем, де дуже важко зрозуміти, чому вони повинні мати короткі докази. (Це щось на крок назад від "Які ще складні наслідки має цей колапс?" До "Які самі основні, суттєві причини, що цей крах був би дивовижним?")$\mathsf{NP}=\mathsf{coNP}$

Наприклад, якщо , то для кожного графа, який не є гамільтоновим, є короткий доказ цього факту. Аналогічно для графіків, які не є 3-кольоровими. Аналогічно для пар графіків, які не є ізоморфними. Аналогічно для будь-якої пропозиційної тавтології .$\mathsf{NP}=\mathsf{coNP}$

У світі, де , складність у доведенні пропозиційних тавтологій полягає не в тому, що деякі короткі тавтології мають довгі докази - адже в такому світі кожна тавтологія має поліноміально короткий доказ - але швидше, що є якась інша причина, що ми не можемо знайти ці докази ефективно.$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP} = \mathsf{coNP}$

Якщо ми також припустимо , то гіпотеза також спричинить крах рандомізованих класів:$\mathsf{NP}=\mathsf{RP}$ . Хоча все це вигадано, щоб беззастережно розпастись на P , у будь-якому разі все ще відкрито, чи дійсно це станеться. У будь-якому випадку, N P = c o N P , схоже, не означає, що ці рандомізовані класи руйнуються.$\,\,\mathsf{ZPP}=\mathsf{RP}=\mathsf{CoRP}=\mathsf{BPP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$

Якщо їх немає, тобто ми маємо принаймні , то поряд із гіпотезою N P = c o N P це матиме ще один важливий наслідок:$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$ . Це випливає з результату Babai, Fortnow, Нісан та Wigderson,якому говоритьсящоякщо все унарні (приблизно) мови в P H потрапляють в P , то B P P = P . Таким чином, якщо B P P ≠ P , то всі вони не можуть потрапити в, якприпущенняпередбачає. Тому вповинна існувати загальна мова. Нарешті, наявність загальномовної мови в $\,\,\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{P}$$\mathsf{BPP}=\mathsf{P}$$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$N P = c o N P P H = N P N P - P N P - P E ≠ N $\mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$$\mathsf{PH}=\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}-\mathsf{P}$$\mathsf{NP}-\mathsf{P}$добре відомо, що мається на увазі .$\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$

Наведені вище міркування показують цікавий ефект , що гіпотеза, незважаючи на те , колапс, фактично підсилює розділяє силу B P P ≠ P , так як останній в поодинці не відомо, має на увазі E ≠ Н Е . Ця «аномалія» , здається, підтримує гіпотезу B P P = P .$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$$\mathsf{BPP}= \mathsf{P}$

Є два визначення для підрахунку класів за . Один був визначений Валіантом, а другий - Тодою.${\bf \#P}$

Для будь-якого класуCвизначте#C=∪ A ∈ C (#P) A , де( # P A)означає функції підрахунок прийнятих шляхів недетермінованих багаточленних машин Тюрінга, що маютьА-оракл.${ \rm \underline {Valiant's-Definition:}}$$C$$\#C =\cup_{A\in C}(\#P)^{A}$$({\#P}^A)$$A$

За визначенням Валіана, у нас вже є ${\bf \#NP} = {\bf \#CoNP}$

Для будь-якого класуCвизначте#. C- клас функційfтаким, що для деякихC-обчислюваний двоаргументний предикатRі деякий многочленp, для кожного рядкаx встановлено,що:f(x)=| | {у| р(${ \rm \underline {Toda's-Definition:}}$$C$$\# .C$$f$$C-$$R$$p$$x$і R ( x , y ) } | | .$f(x)=||\{y|p(|x|)=|y|$$R(x,y)\}||$

За визначенням Тоди у нас є тоді і тільки тоді , коли N P = C ö N P .${\bf \#.NP} = {\bf \#.CoNP}$${\bf NP} = {\bf CoNP}$

Тоді , якщо ми припустимо , що , то ми мали б F P ≠ # P .${\bf P}\not = {\bf NP}$${\bf FP} \not = {\bf \# P}$

Кер-і Ко Показав, що існує оракул, який змушує PH руйнуватися на k-му рівні. Див. "Кер-І Ко: Релятивізовані ієрархії поліном часу з рівними K рівнями. SIAM J. Comput. 18 (2): 392-408 (1989)".