Топологічний простір, пов'язаний з SAT: чи він компактний?

Здійсненності проблема, звичайно ж , основна проблема в теоретичній CS. Я грав з однією версією проблеми з нескінченно великою кількістю змінних.$\newcommand{\sat}{\mathrm{sat}} \newcommand{\unsat}{\mathrm{unsat}}$

Основні настройки. Нехай - порожній і, можливо, нескінченний набір змінних . Буквал - це або змінна або її заперечення ¬ x . Пункт c - диз'юнкція кінцевої кількості буквалів . Нарешті, ми визначаємо формулу F як набір пропозицій .$X$$x \in X$$\neg x$$c$$F$

Призначення $X$ - це функція $\sigma : X \to \{0,1\}$ . Я не буду чітко визначати умову, коли призначення $\sigma$ відповідає умові ; він трохи громіздкий і такий же, як у стандартному SAT. Нарешті, завдання відповідає формулі, якщо вона задовольняє кожному складовій. Нехай $\sat(F)$ - сукупність задовольняючих задань для $F$ , а $\unsat(F)$ - доповнення $\sat(F)$ .

Топологічний простір.

Наша мета - наділити простір усіх призначень , назвати це Σ , топологічною структурою . Наші закриті множини мають форму s a t ( F ), де F - формула. Ми можемо переконатися, що це справді топологія:$X$$\Sigma$$\sat(F)$$F$

• Порожня формула що не містить пропозицій, задовольняється всіма завданнями; тому Σ закритий.$\emptyset$$\Sigma$
• Формула для будь-якого х ∈ Х протиріччя. Отже ∅ закритий.$\{ x, \neg x \}$$x \in X$$\emptyset$
• Закриття під довільним перетином. Нехай формула для кожного I ∈ I . Тоді s a t ( ⋃ i ∈ I F i ) = ⋂ i ∈ I s a t ( F i ) .$F_{i}$$i \in I$$\sat \left(\bigcup_{i \in I} F_i\right) = \bigcap_{i \in I} \sat(F_i)$
• Закриття під обмеженим союзом. Припустимо, і G - це дві формули, і визначимо F ∨ G : = { c ∨ $F$$G$ Тоді s a t ( F ∨ G ) = s a t ( F ) ∪ s a t ( G ) .Це потрібен аргумент, але я пропускаю це. $$F \vee G := \{ c \vee d \,:\, c \in F, d \in G \}.$$ $\sat(F \vee G) = \sat(F) \cup \sat(G)$

Назвіть цю топологію "топологією задоволеності" (!) На Σ . Звичайно, відкриті множини цієї топології мають вигляд u n s a t ( F ) . Більше того, я помітив, що колекція відкритих множин { u n s a t ( c $\mathcal T$$\Sigma$$\unsat(F)$ утворює базис для Т . (Вправа!)

Компактний? Я відчуваю, що це цікавий, якщо не страшенно корисний спосіб дивитися на речі. Я хочу зрозуміти, чи володіє цей топологічний простір такими традиційними цікавими властивостями, як компактність, зв'язаність тощо. У цій публікації ми обмежимося компактністю:

Нехай - незмінно нескінченна сукупність змінних. ¹ Чи Σ компактний під T ?$X$$\Sigma$$\mathcal T$

Можна довести наступне

Пропозиція. компактно тоді і тільки для всіх нездійсненних формул F , існує кінцеву нездійсненне подформулу { C 1 , C 2 , ... , гр м } ⊆ F .$\mathcal T$$F$$\{ c_1, c_2, \ldots, c_m \} \subseteq F$

(Не дуже важка вправа!) Після кількох днів роздумів я не маю особливого прогресу у відповіді на це питання. Я також не маю вагомих доказів щодо або проти компактності. Чи можете ви запропонувати якийсь підхід?

Нарешті, як бонусне питання:

Чи вивчалася раніше така структура?

¹ Обмеження на обчислюваний призначено просто для простоти; він також відчуває себе наступним природним кроком з кінцевої кількості змінних.$X$

Те, що ви робите, - це топологічне зображення булевої алгебри. Дослідження уявлень булевих алгебр приходить щонайменше до Лінденбаума та Тарського, які довели (я думаю, в 1925 р.), Що повна атомна булева алгебра є ізоморфною для сіткових решіток.

$x_1, x_1 \land x_2, \ldots$

Теорема уявлення Стоуна для булевих алгебр Кожна булева алгебра є ізоморфною для решітки підмножини клопону топологічного простору.

$\mathit{true}$

Кам'яний простір булевої алгебри - це компактний, повністю від’єднаний простір Гаусдорфа.

Є кілька результатів, які розширюють та узагальнюють представлення Стоун у різних напрямках. Природним питанням є запитання, чи мають інші сім’ї грат такі уявлення. Результати Стоун застосовуються і до розподільних грат. Топологічні уявлення про довільні решітки були викладені Alasdair Urquhart в 1978 році. Розподільні ґрати користуються більшою різноманітністю в структурі, порівняно з булевими алгебрами і представляють великий інтерес. Інше уявлення про розподільну справу було дано Хіларі Прістлі в 1970 році, використовуючи ідею впорядкованого топологічного простору . Замість представлень, заснованих на множинах, ми можемо знайти уявлення та топології, засновані на наборах.

Конструкції в цих роботах мають одне чудове властивість. Конструкція Стоун відображає не лише булеві алгебри до топологічних просторів: структурні зв’язки, що стосуються булевих алгебр, перетворюються на структурні властивості між результуючими топологіями. Це подвійність між категоріями. Вся гама таких результатів називається Stone Duality . Неформально, дуалісти дають нам точний переклад між математичними всесвітами: комбінаторний світ множин, алгебраїчний світ ґрат, просторовий світ топології та дедуктивний світ логіки. Ось кілька вихідних моментів, які можуть допомогти.

1. Глава 11 Введення в ґрати і порядок Деві та Прістлі висвітлює теорему Стоун.
2. Слайди Меттью Гвінна висвітлюють теорему і дають доказ компактності. Метью (у коментарях) також пропонує Введення до булевих алгебр Пола Хальмоса.
3. Переходячи від логіки пропозицій до модальної логіки, булева алгебра розширюється за допомогою оператора з’єднання, що зберігає, і топології з інтер'єром. Документ Джорнсона та Тарського 1952 року, булева алгебра з операторами, є надзвичайно читабельним і відповідає сучасній нотації.
4. Глава 5 Модальної логіки Блекберна, де Рійке та Венеми висвітлює теорему Стоун та його поширення на булеві алгебри з операторами.
5. Кам'яні простори Пітера Джонстона переглядає такі результати для різних інших видів алгебр.