Непридатність кришки заданого набору: чи можу я припустити, що m = poly (n)?

Я намагаюся показати, що певна проблема немислима за рахунок зменшення набір обкладинки. Моє зменшення перетворює екземпляр із наземним набором розміру $n$ і $m$ встановлює екземпляр моєї проблеми, де певний параметр $r$ має розмір $O(n+m)$ . Тоді я можу показати, що екземпляр заданої обкладинки, де розмір обкладинки s, відповідає екземпляру моєї проблеми, де розмір оптимального рішення становить $2s$ (або щось подібне), і навпаки. Я хотів би попросити Raz-Safra зробити висновок про те, що моя проблема є нерозбірливою аж до чинника $c \log{r}$ , для деякої постійної $c$ . Це спрацювало б добре, якби я міг це припустити $m$ обмежений фіксованим многочленом $n$ . Хтось знає, чи кошерніше це вважати? Це, безумовно, справедливо для сімейства екземплярів, які використовуються у стандартному доказі твердості NP для встановленого покриття, але я не впевнений, чи залишається це для виду скорочення PCP, використовуваних Raz та Safra.

cc.complexity-theory approximation-hardness set-cover

— Едіт Елкінд
джерело

Так, кількість множин m у екземплярі обкладинки множин є многочленом у кількості елементів.

До речі - найсучасніші результати твердості для Set-Cover:

За допомогою Нога Алона та Мулі Сафра ми показали, як використовувати PCP Raz-Safra / Arora-Sudan для отримання кращої константи $c$ у коефіцієнті твердості $c\log n$ .

http://people.csail.mit.edu/dmoshkov/papers/k-restrictions/k-rest-full.ps
Фейдж показав, як отримати оптимальний коефіцієнт твердості $(1-\epsilon)\ln n$ , припускаючи $NP\not\subseteq DTIME(n^{\log\log n})$ .

http://www.cs.duke.edu/courses/spring07/cps296.2/papers/p634-feige.pdf
Нещодавно я опублікував замітку про те, як адаптувати зменшення Фейге до результату твердості NP (тобто результату, заснованого на ), припускаючи правдоподібну гіпотезу про PCP (гіпотеза, яку я називаю "Конструкція ігор для прогнозування" - спеціалізація проекту "Розсувна шкала 1993 року" до проекційних ігор). $P\neq NP$

http://eccc.hpi-web.de/report/2011/112/ (пізніше я з’ясував, що зниження забезпечує оптимальний компроміс між та скорочення). $\epsilon$

— Дана Мошковіц
джерело

Яке найслабше припущення про розділення, яке все ще дасть твердість ?

(1 - ϵ) \log n

$(1-\epsilon)\log n$

— Суреш Венкат

Дана, дякую за вашу відповідь! Наступне запитання, якщо ви не заперечуєте: чи це "дурне" питання, тобто чи є міркування високого рівня, що означають m = poly (n), чи це справді, що насправді треба знати Доказ твердості Raz-Safra для відповіді на моє запитання?

— Едіт Елкінд

@ Суреш: Я припускаю, що ви маєте на увазі . Припущення Фейге ( ) і моє припущення ("Концепція ігор проекційних ігор") незрівнянні. Я вважаю, що моє припущення було б доведене в осяжному майбутньому.

(1 - ϵ) \ln n

$(1-\epsilon)\ln n$

N P ⊈ D T I M E (n^{\log \log n})

$NP\not\subseteq DTIME(n^{\log\log n})$

— Дана Мошковіц

@lostinjungle: Якби m не було поліномом в n, ви не могли б вважати скорочення "скороченням у багато разів". Конкретна причина, що PCP Raz-Safra / Arora-Sudan дає m = poly (n), полягає в тому, що існує набір змінної / обмеження + і обмеження PCP для них, а також кількість змінних і обмежень, а також розміри алфавіту є многочленами, а кількість запитів є постійною.

— Дана Мошковіц

@DanaMoshkovitz: Дякую! Я не впевнений, що розумію ваше перше твердження. Що не так у наступному (гіпотетичному) зменшенні: я починаю з екземпляра (скажімо) вершини Cover з вершин і створюю екземпляр Set Cover з множини та набір землі розміром , де - рішення до ? Це безумовно працює в полі-час. Правда, я ніколи не бачив такого зменшення, але це не здається логічно неможливим. Або я помиляюся? Звичайно, на моє оригінальне запитання вже відповіли, тому сміливо ігноруйте це. Мені просто цікаво ...

k

$k$

m = k^{3}

$m = k^3$

n

$n$

n

$n$

n^{\log n} = m

$n^{\log n} = m$

— Едіт Елкінд