-нормативні машини Тюрінга

Читаючи кілька останніх тем про квантові обчислення ( тут , тут , і тут ), змусити мене запам'ятати цікаве запитання про потужність якоїсь машини -norm.$\ell_p$

Для людей, які працюють в теорії складності, що збираються до квантової складності, чудовим вступним текстом є праця Fortnow, посилання якої розмістив Джошуа Грохов тут . У цій роботі квантова машина Тьюрінга представлена ​​як узагальнена ймовірнісна машина Тьюрінга. В основному, ймовірнісна машина має стан нормалізований відповідно до , тобто . Еволюція часу машини задається застосуванням стохастичної матриці такою, що , тобто зберігає . Отже стан у часі дорівнюєℓ 1 ∥ s ∥ 1 = 1 P ∥ P s ∥ 1 = 1 P ℓ 1 t P t s P s P ℓ 1 M ℓ $s$$\ell_1$$\parallel s\parallel_1=1$$P$$\parallel Ps\parallel_1=1$$P$$\ell_1$$t$$P^ts$(позначення може бути неточним, тому що ліве чи право множення залежить від того, чи - вектор рядка чи стовпця або рядки чи стовпці - підпростори, що зберігають норму). Тож у цьому сенсі ймовірнісна машина Тьюрінга є збереження позначеною .$P$$s$$P$$\ell_1$$M^{\ell_1}$

Тоді квантову машину Тьюрінга можна розглядати як такий, що має стан з та унітарною матрицею (яка зберігає -норми) таким, що - стан у момент де . Це машина для збереження позначена .∥ s ∥ 2 = 1 P ℓ 2 P t s t ∥ P t s ∥ 2 = 1 ℓ 2 M ℓ $s$$\parallel s\parallel_2=1$$P$$\ell_2$$P^ts$$t$$\parallel P^ts\parallel_2=1$$\ell_2$$M^{\ell_2}$

Нехай взагалі машину збереження -norm позначають .M ℓ $\ell_p$$M^{\ell_p}$

Тому мої запитання:

(1) Яка потужність -norm зберігаючих машин для кінцевих ? Більш формально, чи можемо ми довести, що для будь-яких заданих і , якщо тоді існує мова і машина така, що ефективно вирішує і немає машини , яка ефективно вирішує . Наприклад, це може бути узагальненням питання, чи є ?. p p q q > p L M ℓ q M ℓ q L M ℓ p L N P ⊆ B Q $\ell_p$$p$$p$$q$$q>p$$L$$M^{\ell_q}$$M^{\ell_q}$$L$$M^{\ell_p}$$L$$NP \subseteq BQP$

(2) Що про ? Тут максимальне значення компонентів вектора стану дорівнює 1.$p=\infty$

(3) Ці питання виходять за межі унітарності, тому не очікується, що вони погоджуються з квантовою механікою. Взагалі, що відбувається з обчисленнями, якщо ви зменшите обмеження унітарності операцій? Є роботи щодо дозволу нелінійних операторів (див. Aaronson 2005 ).

(4) Можливо, найголовніше, це універсально? Я думаю, що це зрозуміло, адже для конкретних випадків це універсально. Але що відбувається з універсальністю, коли ?$p=\infty$

Це не повна відповідь на питання, але це занадто довго, щоб написати як коментар. Це розширює мій попередній коментар.

Питання «Що відбувається з обчисленням, якщо аксіоми квантової механіки трохи модифіковані?» Дуже детально вирішується веселим документом [Aar04] Скотта Аронсона. Я вважаю, що ваші запитання, по суті, відповідають у першій половині розділу 2 [Aar04].

Аронсон показує, що якщо p> 0 і p ≠ 2, то матриця, яка зберігає р-норму для всіх векторів, обов'язково є узагальненою матрицею перестановки (добуток матриці перестановки та діагональної матриці). Він стверджує, що те саме стосується і випадку p = ∞. Все це стосується як ℝ, так і більше ℂ. Зауважимо, що це включає випадок p = 1: стохастичні матриці зберігають 1-норму для негативних векторів, але не для всіх векторів загалом.

Я здогадуюсь, що ймовірнісна машина Тьюрінга, узагальнена як у [For00], має узагальнену матрицю перестановки як її матрицю глобального переходу, лише якщо вона є детермінованою машиною Тюрінга, але я не маю доказів.

Ааронсон також обговорює декілька інших модифікацій аксіом квантової механіки у статті. Наприклад, якщо ми змінимо правило вимірювання (замість набору дозволених воріт), щоб результат x стався з вірогідністю | α _x | ^p / ∑ _y | α _y | ^p , де α _y - амплітуда | y⟩, тоді цей "квантовий комп'ютер" може вирішити будь-які задачі в ПП (включаючи задачі, повні NP), у поліноміальний час, якщо р = 2 (пропозиція 5).

Список літератури

[Aar04] Скотт Аронсон. Чи є квантовою механікою острів у теоретичному просторі? У працях конференції Växjö "Квантова теорія: перегляд основ", 2004. arXiv: quant-ph / 0401062 v2.

[For00] Lance Fortnow. Погляд теоретика про складність квантових обчислень. У галузі обчислювальної техніки: симпозіум австралійської теорії (CATS 2000), стор. 58–72, січень 2000 р. Http://dx.doi.org/10.1016/S1571-0661(05)80330-5

$p \not\in \{1,2\}$$\ell_p$$\left| \psi_i \right|^p$

$\ell_p$$\ell_1$$\ell_2$$\Omega(N^{1/p})$$\ell_\infty$$\ell_p$$\ell_q$$1/p+1/q=1$$\ell_p$$p$