Вирішення, чи заданий контур

Яка складність вирішити, чи ланцюг з вхідними бітами і вихідними бітами обчислює перестановку ? Іншими словами, чи кожен бітовий рядок у - це вихід схеми для деякого входу? Це виглядає як проблема, яку вивчали, але я не можу знайти жодних посилань. $\mathsf{NC}^0$ $n$ $n$ $\{0,1\}^n$ $\{0,1\}^n$

cc.complexity-theory circuit-complexity permutations

— QiCheng
джерело

Очевидною межею є

яка також працює для

(перевірте, чи функція є ін'єктивною).

c o N P

$\mathsf{coNP}$

P

$\mathsf{P}$

— Каве

Що ви маєте на увазі під «ланцюгом NC0»? Звичайна фраза - це "сімейство схем NC0", яку (можливо, на жаль) часто скорочують до "ланцюга NC0", але я не думаю, що ви маєте на увазі сімейство схем NC0 у своєму запитанні.

— Tsuyoshi Ito

Під ланцюгом

я маю на увазі, що кожен вихідний біт схеми залежить тільки від постійної кількості вхідних бітів.

N C^{0}

$NC^0$

— QiCheng

Так, я питаю про сім'ю. Щоб зробити більш зрозумілими, ви можете змінити

на

де кожен вихідний біт залежить лише від

вхідних бітів у сім'ї.

N C^{0}

$NC^0$

N C_{5}^{0}

$NC_5^0$

5

$5$

— QiCheng

Це не дає відповіді на ваше запитання, але якщо проблема узагальнена таким чином, щоб кожному вихідному біту було дозволено залежати від вхідних бітів O (log n), то я думаю, що ця проблема є повною на рівні coNP при зменшенні Turing. Це випливає з coNP-повноти кінцевої оборотності двовимірних стільникових автоматів ( Durand 1994 ) шляхом представлення кожної комірки в двовимірному стільниковому автоматі у вигляді бінарного рядка O (log n).

— Цуйосі Іто

Твердість

Після Вашого коментаря до цього питання ми викличемо ланцюг, де кожен вихідний біт залежить від максимум k вхідних бітів " ланцюга NC ⁰_k ". Використовуючи цей термін, ваша проблема закінчується coNP у випадку ланцюгів NC ⁰₅ . Тобто наступна проблема є coNP-завершеною.

Екземпляр : Булева ланцюг C з n вхідними бітами і n вихідними бітами, де кожен вихідний біт залежить від не більше п'яти вхідних бітів.
Питання : Чи обчислюється відображення від {0,1} ⁿ до себе C біективом?

Як зауважив Каве, це чітко в coNP, навіть без обмеження кількості вхідних бітів, від яких залежить кожен вихідний біт. Щоб довести твердість coNP, ми зведемо 3SAT до доповнення поточної проблеми. Ключова ідея скорочення така сама, як та, що використовується у статті [Dur94] Дуранда, про яку я згадував у коментарі до питання, але все зменшення в нашому випадку набагато простіше.

З огляду на формулу 3CNF φ з n змінними та m застереженнями, ми побудуємо булеву схему C з ( n + m ) вхідними бітами та ( n + m ) вихідними бітами наступним чином. Позначимо вхідні біти як x ₁ ,…, x _n , y ₁ ,…, y _m , а вихідні біти як x ′ ₁ ,…, x ′ _n , z ₁ ,…, z _m . Вважаємо, що вхідні біти x₁ ,…, x _n задайте призначення істини n змінним у φ .

x ′ _i = x _i для 1≤ i ≤ n . Тобто перші n бітів вводу завжди копіюються в перші n бітів виводу.
Для 1 ≤ i ≤ m , якщо i- й пункт φ задовольняється, тоді z _i = y _i ⊕ y _{i +1} , де інтерпретація інтерпретується модулем m . Інакше z _i = y _i .

Зауважте, що кожен вихідний біт залежить від щонайбільше п'яти вхідних бітів. Я опускаю доказ правильності зменшення, але ключова ідея (яку я запозичив у [Dur94]) полягає в тому, що якщо φ задовольняє і вхідні біти x ₁ ,…, x _n встановлюються на задовольняюче призначення φ , то м вихідних біти г ₁ , ..., Z _м обмежені мати парність, і , отже, схема не може бути перестановкою. З іншого боку, якщо вхідні біти x ₁ ,…, x _n встановлені на незадовільне призначення φ , тоді вихідні біти z₁ ,…, z _m можна встановити на що завгодно; через це, якщо φ незадовільно, то схема є перестановкою.

Простежуваність

Що стосується простежувальної сторони, ваша проблема полягає в P у випадку ланцюгів NC ⁰₂ . Це показано наступним чином. Взагалі кожен вихідний біт в булевій схемі для перестановки врівноважений ; тобто рівно половина вхідних рядків встановлює вихідний біт на 1. Однак кожна збалансована булева функція від {0,1} ² до {0,1} є афінною ; тобто копія одного вхідного біта, XOR двох вхідних бітів або їх заперечення. Отже, ми можемо спочатку перевірити, що кожен вихідний біт врівноважений, а потім перевірити бієктивність шляхом усунення Гаусса.

Я не знаю складності у випадку ланцюгів NC ⁰₃ або у ланцюгах NC ⁰₄ .

Список літератури

[Dur94] Бруно Дуран. Інверсія 2D стільникових автоматів: деякі результати складності. Теоретична інформатика , 134 (2): 387–401, листопад 1994 р. DOI: 10.1016 / 0304-3975 (94) 90244-5 .

— Цуосі Іто
джерело

Я розмістив подальше запитання щодо випадку ланцюгів NC ^ 0_3.

— Цуйосі Іто