Заборонені неповнолітні для обмежених графіків роду

Добре відомо, що $K_5$ і $K_{3,3}$ є забороненими неповнолітніми для плоских графіків. Існують сотні заборонених неповнолітніх для графіків, вбудованих на торі. Кількість заборонених неповнолітніх для графіків, вбудованих на поверхню роду g, є експоненціальною функцією g . Моє запитання таке:

Чи є явний графік $G_t$ на вершинах t (що не є повним графіком) таким, що $G_t$ є забороненим другорядним для графіків, вбудованих на поверхню роду g , де t - функція g ?

EDIT: Я зрозумів, що відома наступна теорема:

Для кожної поверхні Σ існує ціле число r таке, що $K_{3,r}$ не вбудовується в Σ.

Отже, я шукаю $G_t$ що не є повним графіком, не повним двопартійним графіком.

— Шива Кінталі
джерело

Отже, ви хочете красиво побудовану, параметризовану, нескінченну сімейство графіків (крім повних графіків), які заборонені неповнолітніми для поверхонь кожного роду?

— Деррік Столі

@Derrick. Так. Точно.

— Шива Кінталі

{H_{g} : g \geq 1}

$\{ H_g : g \geq 1\}$

H_{g} ≇ K_{n}

$H_g \not\cong K_n$

g

$g$

" і не є неповнолітніми " обмеження не може бути тим, що ви хочете. Якщо вони не є неповнолітніми групи , то є планарним і не може бути забороненим неповнолітнім для будь-якого вищого роду.

K_{5}

$K_5$

K_{3, 3}

$K_{3,3}$

G

$G$

G

$G$

G

$G$

— Девід Еппштейн

@DavidEppstein Я видалив свої зміни. По суті, я шукаю перешкоди, які "відрізняються" від та .

K_{5}

$K_5$

K_{33}

$K_{33}$

— Шива Кінталі

об'єднання копій (або ) є мінімально забороненим другорядним для графіків роду ; те ж саме стосується графіка, в якому деякі з цих копій поділяють одну вершину, так що блоки графіка мають значення або . Це випливає з результатів J. Battle, F. Harar, Y. Kodama та JWT Youngs, "Аддиктивність роду графа", Bull. Амер. Математика. Соц. 68 (1962) 565–568, і цього вже достатньо, щоб показати, що існує принаймні експоненціально багато неповнолітніх. $n$ $K_5$ $K_{3,3}$ $n-1$ $K_5$ $K_{3,3}$

Боян Мохар, "Перешкода вкладенню графіків у поверхні", Дискретна математика. 78 (1989) 135–142, перераховує графік, сформований із , видаляючи 4-цикл як рід 2. Оскільки є тороїдальним, це означає, що або або один із його є перешкодою для вбудовування тору. , а графіки, які мають копій цього графа як їх блоків, мають рід . $K_8$ $K_7$ $K_8\setminus C_4$ $n$ $2n$

Мохар також показує, що графік, утворений з -циклу, з'єднуючи вершину 0 з усіма непарними вершинами, а вершина 1 до всіх непарних вершин має "відносний рід" щонайменше . Графік є планарним, але я думаю, що відносний рід означає, що цикл повинен бути обличчям; або ви можете додати іншу вершину до графа, з'єднаного з усіма вершинами циклу, щоб ефективно змусити його бути обличчям. Можливо, це ближче до тієї речі, яку ви хочете. Але я не думаю, що він показує, що ці графіки є мінімальними забороненими неповнолітніми. $(2k+2)$ $\lceil k/2\rceil$

— Девід Еппштейн
джерело

Ваш останній абзац про

цикл - це те, що я шукаю. Спасибі. Я приймаю вашу відповідь.

(2 k + 2)

$(2k+2)$

— Шива Кінталі