Чи може така матриця існувати?

Під час роботи я зіткнувся з такою проблемою:

Я намагаюся знайти -матрицю для будь-якого із такими властивостями: $n \times n$ $(0,1)$ $M$ $n > 3$

Детермінанта є парною. $M$
Для будь-яких непустих підмножин з, Подматріца має непарний детерминанту тоді і тільки тоді , коли . $I,J\subseteq\{1,2,3\}$ $|I| = |J|$ $M^I_J$ $I=J$

Тут позначає подматріца створюється шляхом видалення рядків з індексами в і стовпцями з номерами з . $M^I_J$ $M$ $I$ $J$

Поки я намагався знайти таку матрицю за допомогою випадкової вибірки, але мені вдалося знайти лише матрицю, яка має всі властивості, окрім першої , тобто матриця завжди має непарний визначник. Я спробував різні розміри та різні набори вводу / виводу без жодного успіху. Тож це змушує мене думати:

Чи є залежність серед вимог, яка заважає їм бути одночасно істинними?

або

Чи можливо така матриця існує і може хтось надати мені приклад?

Спасибі, Етш

— Етш
джерело

Ви маєте на увазі випадкові підмножини чи будь-які підмножини?

— Суреш Венкат

Здається, що і конфліктують між собою , тому що ніщо не може зупинити в одному випадковому підмножині в іншому випадковому підмножині. Або ви просто хочете, щоб це було правдою для однієї пари підмножин , ?

det (M_{o_{1}}^{i_{1}}) \equiv 1 (\mod 2)

$\det(M^{i_1}_{o_1}) \equiv 1 \pmod{2}$

det (M_{o_{2}}^{i_{1}}) \equiv 0 (\mod 2)

$\det(M^{i_1}_{o_2}) \equiv 0 \pmod{2}$

o_{1}

$o_1$

o_{2}

$o_2$

{o_{1}, o_{2}, o_{3}}

$\{o_1,o_2,o_3\}$

{i_{1}, i_{2}, i_{3}}

$\{i_1,i_2,i_3\}$

— Пітер Шор

Так, дві підмножини та виправлені. Наприклад, для можна встановити , , і , , і тоді питання: чи існує (7x7) матриця така, що , , тощо, відповідно до визначених 20 властивостей.

I = {i_{1}, i_{2}, i_{3}}

$\mathcal{I} = \{i_1,i_2,i_3\}$

O = {o_{1}, o_{2}, o_{3}}

$\mathcal{O} = \{o_1,o_2,o_3\}$

n = 7

$n=7$

i_{1} = 1

$i_1 = 1$

i_{2} = 2

$i_2 = 2$

i_{3} = 5

$i_3 = 5$

o_{1} = 2

$o_1 = 2$

o_{2} = 3

$o_2 = 3$

o_{3} = 4

$o_3 = 4$

M

$M$

det (M) \equiv 0 (\mod 2)

$\det(M) \equiv 0\pmod{2}$

det (M_{2, 3, 4}^{1, 2, 5}) \equiv 1 (\mod 2)

$\det(M^{1,2,5}_{2,3,4}) \equiv 1 \pmod{2}$

det (M_{2, 3}^{1, 2}) \equiv 1 (\mod 2)

$\det(M^{1,2}_{2,3}) \equiv 1\pmod{2}$

— Етч

Не могли ви просто виправити , , , , , щоб спростити запитання та полегшити його читання?

i_{1} = 1

$i_1 = 1$

i_{2} = 2

$i_2 = 2$

i_{3} = 3

$i_3 = 3$

o_{1} = 1

$o_1 = 1$

o_{2} = 2

$o_2 = 2$

o_{3} = 3

$o_3 = 3$

— Jukka Suomela

Відредаговано для наочності.

— Jeffε

Такої матриці немає.

Ідентичність Desnanot-Якобі каже , що для , так , використовуючи це, ми отримаємо Але ваші вимоги примушують лівий бік до 0 (mod 2), а правий - 1 (mod 2), показуючи, що вони несумісні. $i \neq j$

det M_{i j}^{i j} det M = det M_{i}^{i} det M_{j}^{j} - det M_{i}^{j} det M_{j}^{i}

$\det M_{ij}^{ij} \det M = \det M_i^i \det M_j^j -\det M_i^j \det M_j^i$

det M_{12}^{12} det M = det M_{1}^{1} det M_{2}^{2} - det M_{1}^{2} det M_{2}^{1}

$\det M_{12}^{12} \det M = \det M_{1}^{1} \det M_{2}^{2} - \det M_{1}^{2} \det M_{2}^{1}$

— Петро Шор
джерело

Приємно! Однак зараз я розгублений, оскільки запитуючий заявив, що другий кулею у цьому питанні може бути задоволений, що дійсно суперечить особі, яку ви цитували.

— Цуйосі Іто

@Tsuyoshi: як друга куля суперечить ідентичності? Матриця ідентичності задовольняє другою кулею, і легко перевірити, чи задовольняє особистість Деснано-Якобі. (Якщо ви не приймаєте , що порушує умову особи, яку я щойно додав до своєї відповіді.)

I

$I$

I

$I$

i = j

$i = j$

— Пітер Шор

Вибачте, мій попередній коментар був неправдивим, і, здається, я більше розгублений, ніж я думав. Чому вимога у питанні змушує ліву частину другого рівняння у вашій відповіді 0 мод 2?

— Цуйоші Іто

Тепер я бачу, що ви мали на увазі. Вам не довелося видаляти перший рядок і перший стовпець.

— Tsuyoshi Ito

@Etsch: Я думав про коли писав . Я думаю, це зараз правильно.

M

$M$

M_{1, 2, 3}^{1, 2, 3}

$M^{1,2,3}_{1,2,3}$

— Пітер Шор