Доказ Barendregt щодо зменшення предмета для

Я виявив проблему в доказі Барендрегта щодо зменшення предмета (Thm 4.2.5 ламбда-розрахунків з типами ).

Останній крок доказу (стор. 60) говорить:

"і, отже, за лемою 4.1.19 (1), . " $\quad\Gamma,x:\rho\vdash P:\sigma'$

Однак, згідно леми 4.1.19 (1), це має бути , оскільки підміна робиться на весь контекст, а не тільки на . $\Gamma[\vec{\alpha}:=\vec{\tau}],x:\rho\vdash P:\sigma'$ $x:\rho'$

Я думаю, що стандартне рішення може якось довести, що , але я не знаю як. $\vec{\alpha}\notin FV(\Gamma)$

Я мав доказ, який спростив це, послабивши покоління абстракцій, але нещодавно я виявив, що сталася помилка, і моє доказ неправильне, тому я не впевнений, як вирішити цю проблему більше.

Може хтось, будь ласка, скажи мені, чого я тут пропускаю?

— Алехандро DC
джерело

Barendregt передбачає так звану конвенцію змінних, що зв'язані імена змінних та вільні імена змінних є стандартизованими один від одного , а саме ми неявно припускаємо, що вони різні (використовуючи

-перетворення. Можливо, це допомагає.

α

$\alpha$

— Дейв Кларк

Γ, x : ρ ⊢ P : σ^{'}

$\Gamma,x:\rho\vdash P:\sigma'$

Γ, x : ρ^{'} ⊢ P : σ^{″}

$\Gamma,x:\rho'\vdash P:\sigma''$

ρ^{'} [\vec{α} := \vec{τ}] = ρ

$\rho'[\vec{\alpha}:=\vec{\tau}]=\rho$

σ^{″} [\vec{α} := \vec{τ}] = σ^{'}

$\sigma''[\vec{\alpha}:=\vec{\tau}]=\sigma'$

Я все ще думаю, що існує неточність у тому, як він використовує лему. Однак рішення є (я повинен подякувати Барбарі Петі, яка прийшла з рішенням).

Насправді рішення походить з визначення (деф. 4.2.1), морально таке: $\geq$

$\sigma>\rho\quad$ якщо $\quad\dfrac{\Gamma\vdash P:\sigma}{\Gamma\vdash P:\rho}$

Однак замість того, щоб визначати це таким чином, він визначає відношення лише з точки зору типів. Перевага в визначенні його з точки зору послідовностей полягає в тому, що ми можемо зробити висновок, що якщо , то , що саме те, що йому потрібно в доказі (і звідки походить неточність). $\sigma>\forall\alpha.\sigma$ $\alpha\notin FV(\Gamma)$

— Алехандро DC
джерело

Я використовував цю методику в розширенні системи F для лінійно-алгебраїчного лямбда-числення. Папір із усіма подробицями доказу з'явився сьогодні в LMCS 8 (1:11) .

— Алехандро DC