Використання XORiфікації

XORiфiкацiя - це технiка зробити булевiю функцiю чи формулу важiшою, замінивши кожну змінну на XOR на змінних . $x$$k\geq 2$$x_1 \oplus \ldots \oplus x_k$

Мені відомо про використання цієї методики у складності доказування, головним чином для отримання нижнього простору для систем доказів на основі роздільної здатності, наприклад, у документах:

• Елі Бен-Сассон. Розміщення простору для вирішення. STOC 2002, 457-464.
• Елі Бен-Сассон та Якоб Нордстрем. Розуміння простору у доказовій складності: розділення та компроміси за допомогою замін. ICS 2011, 401-416.

Чи існують інші способи використання цієї методики в інших областях?

Ось дещо релевантний приклад, який ми зараз висвітлюємо у своєму класі.

"Функція доступу до зберігання" визначається на бітах як:$2^k+k$

$SA(x_1,...,x_{2^k}, a_1,...,a_k) = x_{bin(a_1 \cdots a_k)}$

де - це унікальне ціле число в відповідає рядку a_1 \ cdots a_k .{ 1 , … , 2 k } a 1 ⋯ a $bin(a_1 \cdots a_k)$$\{1,\ldots,2^k\}$$a_1 \cdots a_k$

O ( k ⋅ 2 k ) 2 k k a i 1 x $SA$ має формули розміром приблизно над AND / OR / NOT: мати групи всіх можливих -AND над змінними , так що рівно одна група виводить на кожен вхід. Тоді І кожен біт з виходом відповідної групи, то АБО всі ці виходи.$O(k \cdot 2^k)$$2^k$$k$$a_i$$1$$x_i$

Однак наступна функція "SA of XOR" на входах вимагає приблизно -розмір формул над І / АБО / НЕ: 2 3 $2^{k+1}$$2^{3k}$

$SA(x_1,...,x_{2^k}, \bigoplus_{j=1}^{2^k/k} a_{1,j},..., \bigoplus_{j=1}^{2^k/k} a_{k,j}) = x_{bin(a_1 \cdots a_k)}$ .

У літературі це часто називають «функцією Андрєєва». Хастад довів (вдосконалюючи компонент аргументу Андрєєва), що формули кубічного розміру по суті необхідні. (Не важко також знайти формули майже кубічного розміру для нього.)

Це може бути незначним охопленням, але ідея XOR'ing купою речей, щоб зробити завдання "важче" з'являється в криптографії. Він вперше з'явився під виглядом лекції XOR Яо . Якщо є трохи непередбачуваною випадковою величиною, то вкрай непередбачуваний , якщо досить велике, де «s незалежні розіграшів .$X$$Y = X_1 \oplus X_2 \oplus \cdots \oplus X_k$$k$$X_i$$X$

В даний час ця методика є досить стандартною в криптовалюті, як правило, для посилення слабкої конструкції (схема зобов'язань, непримітний протокол передачі тощо) в сильну.