Автоматизоване доведення теореми в лінійній логіці

18

Чи легше пошук автоматичних теорем і пошук доказів у лінійній та іншій підструктурній логіці, якій не вистачає стиснення?

Де я можу прочитати докладніше про автоматичне підтвердження теореми в цих логіках та роль стиснення в пошуку доказів?

— Анонімний
джерело

17

Інші ресурси можуть бути знайдені посилання в дисертації Kaustuv Чоудхурі в « сфокусованого Зворотний метод лінійної логіки », і ви можете бути зацікавлені в Рой Dyckhoff в « Звуження-Free Sequent обчислень », який про скорочення , але не про лінійної логіки.

Існують можливості для ефективного пошуку доказів у лінійній логіці, але я не думаю, що поточна робота свідчить про те, що це простіше, ніж пошук доказів у неструктурній логіці. Проблема полягає в тому, що якщо ви хочете довести у лінійній логіці, у вас є додаткове запитання, якого у вас немає у звичайному пошуку доказів: чи використовується для доведення або використовується для доведення ? На практиці цей "недетермінізм ресурсів" є великою проблемою при здійсненні пошуку доказів у лінійній логіці. $C \vdash(A \otimes B)$ $C$ $A$ $C$ $B$

Відповідно до коментарів, Lincoln et al 1990 р. " Проблеми вирішення лінійної логіки пропозицій " є хорошим посиланням, якщо ви хочете отримати технічну інформацію щодо слів типу "легше".

— Роб Сіммонс
джерело

3

Чи не доказовий пошук у LL складніше, ніж в IL? ISTR, класична пропозиційна логіка є NP-повною, інтуїтивістська логіка пропозицій - PSPACE-повна, а інтуїтивістська лінійна логіка (з

) не може бути визнана.

! A

$!A$

— Ніл Крішнасвамі

4

@Neel: Експоненти - це пристосування для того, щоб знову пронести скорочення. Крім того, додаткові сполучники всередині себе поводяться так, ніби вони стискаються, тому ви також не хочете їх. Те, що вам залишається, - це MLL, який справді є NP-завершеним (на відміну від класичної логіки, яка не є NP-завершеною, як ви сказали, але coNP). Зокрема, кожна ML-тавтологія має доказ розміру полінома. Однак такі докази не так легко знайти детерміновано, як пояснює Роб (що це добре, так як ми хочемо NP не бути субекспоненціальное час.)

— Еміль Jeřábek підтримує Моніки

1

Ви обидва служите, зазначаєте, що я дуже неофіційно говорив про те, чому лінійна логіка "не простіша" - у формальному сенсі пошук MALL доказувати важче, а пошук лінійних доказів лінійної логіки складніше. Більшість, якщо не всі, результати, про які ви посилаєтесь, - це статті Лінкольна та співавторів у документі 1990 р. "Проблеми вирішення лінійної логіки пропозицій".

— Роб Сіммонс

1

@Emil - я ніколи не зациклювався на тій цікавій різниці між MLL та класичною логікою. МП в НП , тому що це свідки повинні бути малі ... але класичне пропозіціональние секвенції доказ не повинно бути поліноміальних розміром (і я припускаю , що не можу, взагалі кажучи ,

до розміру). Що є поліноміальним свідком для того, щоб не було класичного послідовного доказу

?

c u t

$\it cut$

A

$A$

— Роб Сіммонс

1

@Rob Simmons: задовольняюче завдання заперечення.

— Каве

11

Ні, це лише завжди важче.

Так само як проблема рішення для інтуїтивістської логіки пропозицій важче, ніж для класичної логіки пропозицій, так і лінійна пропозиційна логіка все ще складніше. І з експонентами (яким не бракує скорочення), ні з різними ароматами некомутативного сполучника, логіка стає нерозбірливою і навіть слабкий класичний MALL є PSPACE завершеним. На противагу цьому, проблема прийняття рішення для класичної пропозиції логіки є спільною NP, а для інтуїтивістської логіки пропозицій - PSPACE завершеною. (Навпроти, я не знаю складності інтуїтивної MALL.)

Я рекомендую виклад Пат Лінкольна в розділі 6 його лінійної логіки , SIGACT News 1992. З того часу ми дізналися трохи більше, тобто ми маємо результати для великої родини лінійних логік, але основна картина є.

Певним чином саме це робить цікавим пошук доказової лінійної логіки, оскільки твердість проблеми рішення дає простір для більш цікавих понять обчислення, а лінійна логіка є складною у багатьох різних напрямках. Андрей вказав на Огляд лінійного логічного програмування Дейла Міллера ; це хороше місце для пошуку, оскільки Міллер зробив більше для розробки ідеї пошуку доказів як обчислень, як ніхто інший.

— Чарльз Стюарт
джерело

@Kaveh: Неправильний збір, а не помилка; фіксований. Я повинен згадати MLL.

— Чарльз Стюарт

11

Якщо припустити, що складність проблеми доказовості задовольнить вас, ландшафт складностей підструктурної логіки з і без стиснення є дещо складним. Я спробую тут дослідити те, що відомо про лінійну пропозицію пропозицій та логіку пропозицій. Коротка відповідь полягає в тому, що стиснення іноді допомагає (наприклад, LLC може бути вирішеним, тоді як LL - не), а іноді і не (наприклад, MALL завершено PSPACE, MALLC - ACKERMANN).

Логіка пропозицій

CL: класична логіка
ІЛ: інтуїтивістська логіка
LL: лінійна логіка, фрагменти MLL (мультиплікативна), MELL (мультипликативна експоненціальна), MALL (мультиплікативна добавка)
LLW: афінна логіка, тобто LL з ослабленням, ті ж фрагменти, що і вище
ТОВ: договірна лінійна логіка, тобто LL із скороченням, ті ж фрагменти, що і вище
$_\to$ $_{\to,\wedge}$

Складність доказовості

NP-комплект: MLL [Kan91]
co-NP-комплект: CL
PSPACE-повний: IL [Sta79], MALL [Lin92]
$_\to$
БУДЬ-повний: MELLW, LLW [Laz14]
$_{\to,\wedge}$
$\Sigma_1^0$

$_\to$

Список літератури

[Кан91] Макс Канович, Мультиплікативний фрагмент лінійної логіки не завершений NP , Доповідь про дослідження X-91-13, Інститут мови, логіки та інформації, 1991 рік.
[Laz14] Ранко Лазіч та Сильвейн Шмітц, Неелементарні складності розгалуження VASS, MELL та розширень , рукопис, 2014. arXiv: 1401.6785 [cs.LO]
[Лін92] Патрік Лінкольн, Джон Мітчелл, Андре Щедров і Натараджан Шанкар, Проблеми рішення для лінійної логіки пропозицій , Аннали чистої та прикладної логіки 56 (1–3): 239–311, 1992. 10.1016 / 0168-0072 (92) 90075-Б
[Sch14] Sylvain Schmitz, логічна відповідність відповідності є рукописом, виконаним у 2-х ExpTime , 2014. arXiv: 1402.0705 [cs.LO]
[Sta79] Річард Статман, Інтуїціоністична логіка пропозицій є повною поліноміально-простором , Теоретичні інформатики 9 (1): 67–72, 1979. doi: 10.1016 / 0304-3975 (79) 90006-9
[Urq84] Alasdair Urquhart, Нерозбірливість прихильності та відповідних наслідків , Журнал символічної логіки 49 (4): 1059–1073, 1984. doi: 10.2307 / 2274261
[Urq99] Alasdair Urquhart, Складність процедур прийняття рішень у відповідній логіці II , Journal of Symbolic Logic 64 (4): 1774–1802, 1999. 10.2307 / 2586811

— Сильвайн
джерело

9

Можливо, огляд Дейлі Міллера лінійного логічного програмування є гарним моментом?

— Андрій Бауер
джерело