Аксіоми для найкоротших шляхів

Припустимо, у нас є непрямий зважений графік (з негативними вагами). Припустимо, що всі найкоротші шляхи в унікальні. Припустимо, у нас є ці \ binom {n} {2} шляхи (послідовності невиважених ребер), але не знаємо самого G. Чи можемо ми створити будь-яку G, яка дала б ці шляхи як найкоротший за багаточлен? Слабша версія: чи можемо ми вирішити в поліноміальний час, якщо такий G існує?$G = (V, E, w)$$G$$\binom{n}{2}$$G$$G$$G$

Очевидною необхідною умовою є наступне: для кожної пари шляхів їх перетином є також шлях. Чи достатній цей стан?

Я просто натрапив на це старе запитання під час проведення освітленого пошуку, і, трапляється, нещодавно у цій роботі я отримав відповіді, якими можу також поділитися. Я сподіваюся, що поєднання некромантовості нитки та самореклами є прощальним.

Чи можемо ми створити будь-яку G, яка дала б ці шляхи як найкоротший за багаточлен? Слабша версія: чи можемо ми вирішити в поліноміальний час, якщо такий G існує?

Відповідь - так обом. Алгоритм Мухаммеда, безумовно, працює, але існує більш швидкий і прямий метод, який дозволяє уникнути необхідності запуску кубічних оракул розділення. Нехай - допоміжний непрямий зважений графік, де вага кожного краю є цілим числом, що вказує, скільки з шляхів, взятих на вході, містять це ребро. Тепер розглянемо крайовий екземпляр потоку багатокомпонентних потоків над (інтерпретуючи вагові кромки як ємності), в яких мета одночасно просунути 1 одиницю потоку між кожною парою вузлів. Очевидно, що цей екземпляр потоку МС може бути задоволений натисканням потоку природним шляхом по шляхах, заданим на вході. Як виявляється, можна довести, що наш$H = (V, E, w')$$e \in E$$n \choose 2$$H$$n \choose 2$Шляхи - це унікальні найкоротші шляхи в деякій якщо і тільки якщо це єдиний спосіб задовольнити екземпляр потоку MC. Ми можемо перевірити унікальність, встановивши LP, обмеження якого є звичайними для здійсненості потоку МС плюс певна ретельно вибрана цільова функція, а крайові ваги задовольняючого можна отримати з подвійного цього LP.$G$$G$

Очевидною необхідною умовою є наступне: для кожної пари шляхів їх перетином є також шлях. Чи достатній цей стан?

Ця умова іноді називається "узгодженість" (набір шляхів є послідовним, якщо перетин будь-яких двох є підпунктом кожного). З сказаного випливає, що консистенція недостатня. Одним із двох примірників прив’язаних до найменших контрприкладів є наступна кольорова система із чотирьох контурів через шість вузлів:

Іншими словами, немає можливості призначити ваги 8 зображеним тут краям, щоб усі ці чотири шляху одночасно були унікальним найкоротшим шляхом між їх кінцевими точками. Однак будь-яка пара з них перетинається лише на одному вузлі, тому вони є послідовними (навіть якщо ми заповнимо їх кількома додатковими шляхами правильним чином, щоб мати загалом). Існує нескінченно багато таких прикладів, як цей; див. документ для характеристики.$n \choose 2$

Три інші швидкі коментарі до всього цього:

1. Аналогічні висловлювання, на які ви можете сподіватися, всі вважають прекрасними в налаштуванні спрямованих, а не непрямих графіків,
2. Існує приємна топологічна інтерпретація цієї теорії, яка призводить до додаткових уявлень та інтуїцій щодо того, як можна структурувати унікальні найкоротші шляхи, і
3. З певних технічних причин теорія спрощує зручність у встановленні DAG, а не спрямованих або (циклічних) спрямованих графіків.

Ви можете написати проблему як LP, чи не так? Для будь-яких двох вершин u, v і будь-якого шляху P від ​​u до v, вага P більший або дорівнює вазі заданого найкоротшого шляху між u і v. Це все лінійні нерівності, і хоча вони існують Експоненціально багато, проблема розділення є в P (це просто проблема, що має найменший короткий шлях у всіх пар). Отже, ви можете використовувати алгоритм Еліпсоїда для його вирішення.