Кількість двійкових шлюзів, необхідних для обчислення І і АБО з n вхідних бітів одночасно

Яка мінімальна кількість двійкових воріт, необхідних для обчислення І і АБО з вхідних бітів одночасно? Тривіальна верхня межа дорівнює . Я вважаю, що це оптимально, але як це довести? Стандартна техніка усунення затвора тут не працює, оскільки призначаючи константу будь-якій із вхідних змінних, тривіалізує один із результатів. $n$ $2n-2$

Проблема також подана як вправа 5.12 у книзі "Складність булевих функцій" Інго Вегенер у дещо іншій формі: "Нехай . метод усунення можна довести лише нижню межу розміру . Спробуйте довести більші нижні межі. " $f_n(x) = x_1\dots x_n \lor \bar{x}_1 \dots \bar{x}_n$ $n+\Omega(1)$

cc.complexity-theory lower-bounds circuit-complexity

— Куліков Олександр Сергійович
джерело

@Ryan: Питання не про те і в OR , а про І та АБО. Я не знаю відповіді на запитання Саші.

— Цуйосі Іто

@TsuyoshiIto Дякую, мені якось вдалося проаналізувати його неправильно. Це, безумовно, нетривіальна проблема - можна уявити, використовуючи інші типи воріт, щоб отримати перевагу над

2 n - 2

$2n-2$

— Райан Вільямс

@Sasha, ви спробували застосувати SAT-рішення для невеликих прикладів (наприклад,

), як у деяких попередніх роботах?

n = 4

$n=4$

— Райан Вільямс

@Ryan Так, звичайно. Ми знаємо, що

. Це для функції з книги (це

якщо всі

вхідних бітів рівні). Це зростає як

. І схему розміром

побудувати легко: спочатку обчислити

для всіх

C_{3} = 3

$C_3=3$

C_{4} = 5

$C_4=5$

C_{5} \leq 7

$C_5 \le 7$

1

$1$

n

$n$

2 n - 3

$2n-3$

2 n - 3

$2n-3$

x_{i} \equiv x_{i + 1}

$x_i \equiv x_{i+1}$

(

ворота), а потім обчислити сполучення їх (

воріт).

i = 1, \dots, n - 1

$i=1,\dots,n-1$

(n - 1)

$(n-1)$

(n - 2)

$(n-2)$

— Олександр Сергійович Куліков

@Tsuyoshi: Я думаю, що функція Саші

ворота є другою функцією питання (

), яку можна побудувати за допомогою

ворота XNOR (застосовані до

) і

ворота І, застосовані до XNOR.

2 n - 3

$2n-3$

f_{n} (x) = x_{1} \dots x_{n} \lor {\bar{x}}_{1} \dots {\bar{x}}_{n}

$f_n(x) = x_1\dots x_n \lor \bar{x}_1 \dots \bar{x}_n$

n - 1

$n-1$

x_{i}, x_{i + 1}

$x_i,x_{i+1}$

n - 2

$n-2$

— Марціо Де Біасі

Відповіді:

Ця стаття Blum & Seysen може бути корисною:

Н.Блум, М. Сейсен. Характеристика всіх оптимальних мереж для одночасного обчислення AND і NOR . Acta Inf. 21: 171-181 (1984)

Я подумав, що для нижня межа може бути отримана за допомогою методів Blum & Seysen, але, здається, це не так. $x_1\dots x_n\vee \bar{x}_1\dots\bar{x}_n$ $2n-c$

— Володимир Лисиков
джерело

Чи доступна публічна версія PDF у форматі паперу Blum і Seysen?

— Marzio De Biasi

@ Владимир, дякую за довідку! Я спробую перевірити, чи застосовуються їх методи в цьому випадку, коли знайду статтю.

— Олександр Сергійович Куліков

@Vladimir, thans again! Actually, this paper contains exactly the answer to my question anv even more: it says that to compute AND and OR simultaneously one needs

2 n - 2

$2n-2$ and any circuit of this size computes AND and OR independently (this is interesting!). It is also not difficult to show that

C (f_{n}) \geq C (A N D, O R) - c \geq 2 n - c^{'}

$C(f_n) \ge C(AND,OR)-c \ge 2n-c'$ .

— Alexander S. Kulikov

2 n - 2

$2n-2$

x_{1} \dots x_{n} \lor {\bar{x}}_{1} \dots {\bar{x}}_{n}

$x_1\dots x_n\vee \bar{x}_1\dots \bar{x}_n$

2 n - 5

$2n-5$

Просто нагадування @SashaK. якщо вам подобається відповідь, будь ласка, "прийняти" її, натиснувши на галочку під підрахунком голосів.

— Суреш Венкат

Your question is related to the well-known question about computing the minimum and maximum of a list simultaneously using the minimum number of comparisons. In that case the answer is $3\lfloor n/2 \rfloor$ .

The clever algorithm proving the upper bound translates to an AND/OR circuit with same bound you get, since one of the comparisons computes both a minimum and a maximum.

However, the lower bound (given by an adversary argument) does seem to translate, at least in the case of monotone circuits (since an AND/OR circuit translates to a max/min algorithm). This would imply a lower bound of $3\lfloor n/2 \rfloor$ . Perhaps a tight lower bound can be obtained by analyzing the adversary argument.

The upper bound appears in "Introduction to Algorithms", where you can also find the easy argument showing that max/min comparator circuits are valid iff they work for boolean inputs (use an appropriate threshold). The lower bound can be found e.g. here.

— Yuval Filmus
джерело

Note in Sasha's question, all 2-bit Boolean functions can be used to construct the circuit.

— Ryan Williams

Yes, it is not clear how the lower bound can be translated to the case of all binary functions.

— Alexander S. Kulikov