Алгоритми наближення для метричної TSP

Відомо, що метричний TSP можна наблизити в межах і не може бути наближений кращим, ніж у поліном. Чи відомо щось про знаходження розв'язків наближення в експоненціальному часі (наприклад, менше кроків із лише поліноміальним простором)? Наприклад, у який час та простір ми можемо знайти тур, відстань якого не більше ?$1.5$ 2n1,1×OP$123\over 122$$2^n$$1.1\times OPT$

Я вивчив проблему і знайшов найвідоміші алгоритми для TSP.

$n$ - кількість вершин, - максимальна вага ребра. Усі межі задаються поліноміальним коефіцієнтом вхідного розміру ( ). Позначимо асиметричний TSP за ATSP.$M$$poly(n, \log M)$

1. Точні алгоритми для TSP

1.1. Загальний ATSP

$M2^{n-\Omega(\sqrt{n/\log (Mn)})}$ час та -простір ( Björklund ).$exp$

$2^n$ часу та простору ( Беллман ; Хелд, Карп ).$2^n$

$4^n n^{\log n}$ час і -простору ( Гуревич, Шелі ; Б'єрклунд, Husfeldt ).$poly$

$2^{2n-t} n^{\log(n-t)}$ час і простір для ( Koivisto, Parviainen ).$2^t$$t=n,n/2,n/4,\ldots$

$O^*(T^n)$ час і простір для будь-якого з ( Koivisto, Parviainen ).$O^*(S^n)$$\sqrt2<S<2$$TS<4$

$2^n\times M$ час і поліпростір ( Локштанов, Недерлоф ).

$2^n\times M$ час і простір ( Кон, Готліб, Кон ; Карп ; Бакс, Франклін ).$M$

Навіть для Metric TSP нічого кращого не відомо, ніж алгоритми, наведені вище. Велике завдання розробити алгоритм часу для TSP з поліноміальним простором (див. Open Problem 2.2.b , Woeginger ).$2^n$

1.2. Особливі випадки ТСП

$1.657^n\times M$ час і експоненціально мала ймовірність помилки ( Björklund ) для Ненаправленої TSP.

$(2-\epsilon)^n$ та експоненціальний простір для TSP у графах із обмеженим середнім ступенем, залежить лише від ступеня графа ( Cygan, Pilipczuk ; Björklund, Kaski, Koutis ).$\epsilon$

$(2-\epsilon)^n$ і - простір для TSP в графах з обмеженим ступенем максимальної і обмеженими цілими вагами, залежить тільки від ступеня графа ( Б'єрклунд, Husfeldt, Каски, Койвисто ).$poly$$\epsilon$

$1.251^n$ і - простір для TSP до кубічних графах ( Ивама, Накашіма ).$poly$

$1.890^n$ і - простір для TSP в графах ступеня ( Eppstein ).$poly$$4$

$1.733^n$ та експоненціальний простір для TSP у графах ступеня ( Гебауер ).$4$

$1.657^n$ часу і - простір для неорієнтованого Hamiltomian циклу ( Björklund ).$poly$

$(2-\epsilon)^n$ та експоненціальний простір для TSP у графах з максимум гамільтоновими циклами (для будь-якої постійної ) ( Björklund, Kaski, Koutis ).$d^n$$d$

2. Алгоритми наближення для TSP

2.1. Загальний TSP

Неможливо наблизитись до будь-якої функції, яка обчислюється в поліномі, якщо P = NP ( Sahni, Gonzalez ).

2.2. Метричний TSP

$3 \over 2$

$123\over 122$

2.3. Графічний TSP

$7\over5$

2.4. (1,2) -ТСП

MAX-SNP жорсткий ( Papadimitriou, Yannakakis ).

$8 \over 7$

2.5. TSP в метриках з обмеженим виміром

PTAS для TSP у фіксованому розмірі евклідового простору ( Arora ; Mitchell ).

$\log{n}$

PTAS для TSP в метриках з обмеженим подвоєним виміром ( Барталь, Готліб, Кройтгамер ).

2.6. ATSP з нерівністю спрямованого трикутника

$O(1)$

$75\over 74$

2.7. TSP у графіках із забороненими неповнолітніми

Лінійний час PTAS ( Кляйн ) для TSP в планарних графіках.

PTAS для мінорних вільних графіків ( Демайн, Хаджагхай, Каварабаяші ).

$22\frac{1}{2}$

$O(\frac{\log g}{\log\log g})$$g$

2.8. MAX-TSP

$7\over9$

$7\over8$

$3\over4$

$35\over44$

2.9. Експоненціально-часові наближення

$(1+\epsilon)$$2^{(1-\epsilon/2)n}$$\epsilon\le \frac{2}{5}$$4^{(1-\epsilon/2)n} n^{\log n}$$\epsilon \leq \frac{2}{3}$

Буду вдячний за будь-які доповнення та пропозиції.

$O^*(1.932^n)$$O^*(2^n)$$n$$(1+\epsilon)$$O^*(2^{(1-\epsilon/2)n})$$\epsilon \le 2/5$

Ніколя Боря, Ніколя Буж, Бруно Ескофьє, Вангеліс Ч. Пашош: Експоненціальні схеми наближення для деяких проблем із графіком. Доступно в Інтернеті .

$\alpha$$\beta$$\alpha < \beta$$\gamma$$\alpha, \beta]$$\gamma$$\theta$$\gamma$$2^{n^{O(\theta)}}$$\gamma$(принаймні, у постійному діапазоні коефіцієнтів) бачити поліпшення співвідношення апроксимації навіть при заданому суб-експоненціальному часі. Існує кілька проблем, коли найкращий відомий результат твердості полягає в неефективному зниженні від SAT, тобто результат твердості знаходиться під слабшим припущенням, наприклад, що NP не міститься в квазіполіномному часі. У таких випадках можна досягти кращого наближення в суб-експоненціальний час. Єдина, про яку я знаю - це проблема групового дерева Штайнера. Нещодавно відомий результат - це Arora-Barak-Steurer щодо алгоритму субпонекспоненціального часу для унікальних ігор: висновок, який ми робимо з цього результату, полягає в тому, що якщо UGC істинне, то скорочення від SAT до UGC повинно бути деяким неефективний, тобто розмір екземпляра UGC, отриманого за формулою SAT, повинен певним чином зростати з параметрами.

Найкращий tsp для зважених обмежених графіків роду http://erikdemaine.org/papers/ContractionTSP_Combinatorica/ .