Чи хороші PCP для NP дають нам хороші PCP для всієї ієрархії поліномів?

Теорема PCP стверджує, що кожна проблема вирішення в NP має ймовірніше перевіряються докази (або що рівнозначно, що існує повна і квазізвукова система доказів теорем в NP з використанням постійної складності запитів і логарифмічно багато випадкових біт).

"Народна мудрість", що оточує теорему PCP (на хвилину ігноруючи важливість PCP для теорії наближення), полягає в тому, що це означає, що докази, складені суворою математичною мовою, можуть бути перевірені ефективно до будь-якої бажаної міри точності без необхідності читати всю доказ (або багато доказів взагалі).

Я не в змозі цього повністю бачити. Розглянемо розширення другого порядку до логіки пропозицій з необмеженим використанням кванторів (які, як мені кажуть, вже слабші, ніж ZFC, але я не логік). Ми можемо вже почати виражати теореми, недоступні NP, чергуючи квантори.

Моє запитання полягає в тому, чи існує простий, відомий спосіб «розгортання» кванторів у пропозиційних висловленнях вищого порядку, щоб PCP для теорем у NP однаково добре застосовувались до будь-якого рівня PH. Це може бути так, що цього неможливо зробити - те, що розгортання кількісного показника коштує, в гіршому випадку, деяку постійну частину надійності або коректності нашої системи перевірки.

Істинність твердження відрізняється від того, що він має (короткий) доказ у системі доказів. Мова є виразною, але це не означає, що всі дійсні твердження в цій мові мають короткі докази в системі.

Теорема не говорить про те, що ви можете перевірити істинність твердження або навіть правильність довільного довгого доказу чи довільних теорем. Це для підтвердження членства в$\mathsf{NP}$набір, який за визначенням має поліномічні докази розміру (сертифікати) про членство. Теорема говорить лише про те, що вам не потрібно читати повний (поліноміальний розмір) доказ належності до$\mathsf{NP}$ встановити, щоб визначити його правильність.

Одним із наслідків теореми є застосування її до набору теорем довільною мовою, які мають короткі (тобто довільний поліном) докази в ефективній системі доказів (тобто вона може бути вирішена в поліноміальний час, якщо заданий рядок є доказом заданої задачі заява). Наприклад, теореми ZFC, які мають докази розміру$n^{100}$ де $n$- розмір формули. Якщо система доказування є надійною, ви можете імовірнісно перевірити правильність теорем, які мають короткі докази, прочитавши невелику частину їх доказів. Я думаю, що це сенс неформального твердження " докази, складені суворою математичною мовою, можуть бути перевірені ефективно до будь-якої бажаної міри точності без необхідності прочитання всього доказу ".

Дозвольте спробувати уточнити.

Розглянемо наступну обчислювальну задачу: з урахуванням математичного твердження (у вашій улюбленій системі аксіом) та числа n, наведеного в одинарному поданні, вирішіть, чи має твердження доказ розміру n.

Це проблема НП: даючи доказ, можна ефективно перевірити, чи він має розмір n, і що він є дійсним доказом теореми. Зауважте: навіть якщо вислів містить кількісні показники типу FOR ALL, це не означає, що верифікатору потрібно перевірити всі можливості, це просто означає, що верифікатор використовує правила виводу, які включають кількісний показник FOR ALL.

Тому теорема PCP застосовується до цієї проблеми, і тому існує (інший) формат доказів, який дозволяє імовірнісну перевірку.

Ще одна примітка (щодо зауваження Петра): верифікатор PCP використовує лише логарифмічну випадковість. Це означає, що його можна було замінити на стандартний, детермінований перевіряючий документ, який вивчає весь доказ. Тобто наявність верифікатора PCP для мови ставить його в NP.