Чи є безперервна версія теореми про паралельне повторення

Теорема про паралельне передбачення Різа є важливим результатом PCP, непроявленості тощо. Теорема формулюється так.

Гра , де - кінцеві множини, - розподіл на , а предикат . Визначте значення гри І -складна гра . Теорема говорить, якщо то $G=(\mathcal{S},\mathcal{T},\mathcal{A},\mathcal{B},\pi, V)$ $\mathcal{S},\mathcal{T},\mathcal{A},\mathcal{B}$ $\pi$ $\mathcal{S}\times\mathcal{T}$ $V:\mathcal{S}\times\mathcal{T}\times\mathcal{A}\times\mathcal{B}\rightarrow\{0,1\}$

v (G) = max_{h_{A} \in H_{A}, h_{B} \in H_{B}} \sum_{s, t} π (s, t) V (s, t, h_{A} (s), h_{B} (t))

$v(G)=\max_{h_A\in\mathcal{H}_A,h_B\in\mathcal{H}_B}\sum_{s,t}\pi(s,t)V(s,t,h_A(s),h_B(t))$

n

$n$

G^{n} = (S^{n}, T^{n}, A^{n}, B^{n}, π^{n}, V^{n})

$G^n=(\mathcal{S}^n,\mathcal{T}^n,\mathcal{A}^n,\mathcal{B}^n,\pi^n, V^n)$

v (G) \leq 1 - ϵ,

$v(G)\leq 1-\epsilon,$

v (G^{n}) \leq (1 - ϵ^{c})^{Ω (\frac{n}{\log max {| A |, | B |}})}

$v(G^n)\leq (1-\epsilon^c)^{\Omega(\frac{n}{\log\max\{|A|,|B|\}})}$ .

Моє питання - що станеться, якщо множини нескінченні, у безперервному просторі. Скажіть, якщо $\mathcal{S},\mathcal{T},\mathcal{A},\mathcal{B}$ є підмножинами простору, скажімо, $R^n$ або більш абстрактними пробілами. Усі решта однакові. Теорема Різа дає лише тривіальну верхню межу $1$ оскільки розміри наборів відповідей нескінченні. Очевидно, $n$ -кратне значення є верхньою межею однієї копії. Чи відбувається експоненціальне зменшення також у безперервному випадку? Чи було б цікавіше обмежити $\mathcal{H}_A,\mathcal{H}_B$ колекціями безперервних функцій або $C^{\infty}$ функціями або вимірюваними функціями?

— пяо
джерело

Чи відбувається експоненціальне зменшення також у безперервному випадку?

Ні. Фейге і Вербицький [FV02] показали, що для кожного n існує гра G (з кінцевими наборами запитань і відповідей) така, що v ( G ) ≤3 / 4 і v ( G ⁿ ) ≥1 / 8. Оскільки ваша формулювання узагальнює ігри з кінцевими наборами питань та відповідей будь-якого розміру, паралельне повторення (будь-яке безперервно багато разів) не може зменшити значення гри з 3/4 до 1/8.

[FV02] Уріель Фейге та Олег Вербицький. Зменшення помилок при паралельному повторенні - негативний результат. Combinatorica , 22 (4): 461–478, жовт. 2002. doi: 10.1007 / s00493-002-0001-0 .

— Цуйосі Іто
джерело