Розв’язування рівняння лінійного діофантіна приблизно

Розглянемо наступну проблему:

Вхід : гіперплощина $H = \{ \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n: \mathbf{a}^T\mathbf{y} = {b}\}$ , задана векторами $\mathbf{a} \in \mathbb{Z}^n$ і $b \in \mathbb{Z}$ у стандартному бінарному поданні.

$\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^n = \arg \min d( \mathbf{x}, H)$

У наведених позначеннях $d(\mathbf{x}, S)$ для $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ а $S \subseteq \mathbb{R}^n$ визначається як $d(\mathbf{x}, S) = \min_{\mathbf{y} \in S}{\|\mathbf{x} - \mathbf{y}}\|_2$ , тобто це природна евклідова відстань між набором точок і однією точкою .

Словом, нам дають гіперплан і шукаємо точку в цілій граті, яка є найближчою до гіперплани.

Питання:

У чому полягає складність цієї проблеми?

Зверніть увагу, що час полінома тут буде означати поліном у бітовому розмірі вхідного сигналу. Наскільки я бачу, проблема цікава навіть у двох вимірах. Тоді не важко зрозуміти, що досить розглянути лише ті рішення $(x_1, x_2)$ з $0\leq x_1 \leq |a_1|/\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$ але це суперполіномічно багато варіантів.

Пов'язана проблема - це вирішення лінійного рівняння діофантіна, тобто пошук таким, що або визначення того, що такого немає існує. Отже, розв’язання лінійного рівняння діофантину еквівалентне визначенню, чи існує рішення значення 0 задачі, визначеній нами вище. Лінійне діофантинове рівняння можна розв’язати в поліноміальний час; насправді навіть системи лінійних діофантинових рівнянь можна вирішити в поліноміальний час шляхом обчислення нормальної форми Сміта матриці дає систему. Існують поліноміальні алгоритми часу, які обчислюють нормальну форму Сміта з цілочисельної матриці, першу задану функцією $\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^n$ $\mathbf{a}^T\mathbf{x} = b$ $\mathbf{x}$ $\mathbf{A}$ Каннан і Бахем .

Для отримання інтуїції щодо лінійних рівнянь діофантину ми можемо розглянути ще раз двовимірний випадок. Зрозуміло, що немає точного рішення, якщо не розділяє . Якщо це розділить , ви можете запустити розширений алгоритм GCD, щоб отримати два числа і таким чином, що і встановити і . Тепер ви можете бачити, чим відрізняється приблизна версія: коли не ділить , як ми знаходимо цілі числа $\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$ $b$ $b$ $s$ $t$ $a_1s + a_2t = \mathsf{gcd}(a_1, a_2)$ $x_1 = sb/\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$ $x_2 = tb/\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$ $\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$ $b$ $x_1, x_2$ такий, що відстань між та лінією мінімізоване? $(x_1, x_2)$ $a_1x_1 + a_2x_2 =b$

Проблема для мене трохи схожа на найближчу проблему з векторними гратами, але я не бачу очевидного скорочення від будь-якої проблеми до іншої.

— Сашо Ніколов
джерело

Чи відповідає наближення хорошого одночасного наближення діофантину майже NP-Hard , C Rössner та JP Seiffert, MFCS 96 ?

— Кай

ні, це не так: діофантинове наближення - це інша проблема, ніж рішення діофантинового рівняння. у задачі наближення діофантину вам задано дійсних чисел, і ви хочете помножити їх на одне ціле число щоб усі вони в межах від деякого цілого числа. Проблема там полягає у знаходженні оптимального компромісу між розміром та . Я не бачу зв'язку між моєю проблемою і цією.

n $n$

Q $Q$

ϵ $\epsilon$

Q $Q$

ϵ $\epsilon$

— Сашо Ніколов

Який ваш формат введення? Здається, що якщо будь-які два значення координат є невідповідними, то мінімум, про який йдеться, дорівнює нулю (перетинаються з відповідною двовимірною площиною, щоб отримати рівняння вигляду з і невідмінними , тобто ірраціональний, а потім використовуйте стандартні результати на щоб показати, що рядок проходить довільно близько до точок решітки.

a $\mathbf{a}$

sx+ty=w $sx+ty=w$

s $s$

t $t$

α≡st $\alpha \equiv \frac{s}{t}$

{nα}(mod1) $\left\{n\alpha\right\}\pmod 1$

— Стівен Стадницький

Зокрема, це означає, що ваш "min" повинен бути "inf" (тому, що ви приймаєте його на безмежно багато очок), і проблема, чи відрізняється від питання, чи існує деякий з . Це означає, що коефіцієнти повинні бути раціональними числами, щоб проблема мала нетривіальне рішення, і тоді проблема, здається, приймає дуже евклідову форму, тісно поєднану з багатовимірними алгоритмами GCD. Я щось пропускаю?

inf d(x,H)=0 $\mathrm{inf}\ d(\mathbf{x},H)=0$

x $\mathbf{x}$

d(x,H)=0 $d(\mathbf{x},H)=0$

a $\mathbf{a}$

— Стівен Стадницький

@StevenStadnicki справа. ви можете припустити, що і (додам це питання, я, мабуть, його пропустив). вхід подається у стандартному бінарному поданні. питання цікаве навіть тоді, коли . тоді достатньо розглянути всі можливі рішення з , але брутальний пошук буде надполіноміальним у бінарному поданні .

a∈Zn $\mathbf{a} \in \mathbb{Z}^n$

b∈Z $b \in \mathbb{Z}$

n=2 $n = 2$

(x1,x2) $(x_1, x_2)$

x1≤|a1|/gcd(a1,a2) $x_1 \leq |a_1|/\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$

a1,a2 $a_1, a_2$

— Сашо Ніколов

Гаразд, подумавши над цим більше, я вважаю, що я маю явне скорочення від цієї проблеми до розширеного GCD; Я поясню це у випадку , але я вважаю, що він поширюється на довільну . Зверніть увагу , що це знаходить своє , що зводить до мінімуму відстань до гіперплощини, але не обов'язково самого маленького (є насправді нескінченно багато значень , які отримують таке ж мінімальна відстань) - Я вважаю , що останнє завдання також здійсненна, але поки що не задумалась про неї. Алгоритм заснований на кількох простих принципах: $n=2$ $n$ $\mathbf{x}$ $\mathbf{x}$

Якщо , то набір значень, прийнятих є точно ; крім того, значення і з можна знайти ефективно (саме такий розширений алгоритм Евкліда). $g=\mathrm{GCD}(a_1, a_2)$ $\mathbf{a}\cdot\mathbf{x} = a_1 x_1 + a_2 x_2$ $\left\{0, \pm g, \pm 2g, \pm 3g, \ldots\right\}$ $x_1$ $x_2$ $a_1 x_1 + a_2 x_2 = g$
Мінімальна відстань від гіперплана до точки на решітці - це мінімальна відстань від точки на решітці до гіперплощини (очевидно, але корисна інверсія проблеми).
Відстань від заданої точки до гіперплани пропорційна(конкретно, це значення в але оскільки множення всіх відстаней на це значення не впливає на розташування мінімуму, ми можемо ігнорувати коефіцієнт нормування). $\mathbf{x}$ $\mathbf{a}\cdot\mathbf{y} = b$ $\left|\mathbf{a}\cdot\mathbf{x}-b\right|$ $1/|\mathbf{a}|$

Це говорить про таку процедуру:

Обчисліть разом з таким чином, що . $g=\mathrm{GCD}(a_1,a_2)$ $x^0_1, x^0_2$ $a_1x^0_1+a_2x^0_2 = g$
Обчисліть та обчисліть ; - мінімальна (зменшена) мінімальна відстань від решітки до гіперплощини. Нехай буде або або ( , якщо тільки є кратним ), залежно від того, який з них досягає мінімальної відстані. $r = \left\lfloor{b\over g}\right\rfloor$ $d =\min(b-rg, (r+1)g-b)$ $d$ $s$ $r$ $r+1$ $=\left\lceil{b\over g}\right\rceil$ $b$ $g$
Compute і ; тоді є найближчим кратним до , і таким чиномдосягає мінімуму цієї відстані над усіма точками решітки. $x_1 = sx^0_1$ $x_2 = s x^0_2$ $\mathbf{a}\cdot\mathbf{x} = sg$ $g$ $b$ $\left|\mathbf{a}\cdot\mathbf{x}-b\right|$

Наскільки мені відомо, точно така ж процедура повинна коректно працювати у довільних вимірах; Ключовим моментом є те, що -вимірний GCD все ще задовольняє тотожність Безута, і тому, щоб знайти мінімальну відстань до точки решітки, потрібно лише знайти найближче кратне до . $n$ $g$ $b$

— Стівен Стадницький
джерело