Детермінант узагальненої матриці Вандермонд

Матриця Мура схожа на матрицю Вандермонде, але має дещо змінене визначення. http://en.wikipedia.org/wiki/Moore_matrix

Яка складність обчислення визначника заданого повного рангу по матриці Мура деякого цілого числа? $n \times n$

Чи можна детермінант Мура зменшити з за допомогою методів FFT до для деякого ? $O(n^{3})$ $O(n\log^{a}n)$ $a \in \mathbb{R}_{+} \cup \{0\}$

Чи складність Moore det modulo є цілим числом, а Vandermonde - однаковим? Складність детермінанта Вандермонде дорівнює (Сторінка 644 у Підручнику з теоретичної інформатики: Алгоритми та складність Яна Левену) $O(n\log^{2}n)$

Пост, аналогічний поточному: Детермінантний модуль m

cc.complexity-theory algebraic-complexity

— Т….
джерело

Чи можна визначити детермінант Мура за час O (n ^ 3) (у цілій оперативній пам'яті)?

— Jeffε

@ Jɛ ﬀ E Тому я згадав про модульний випадковий .

N \in N

$N \in \mathbb{N}$

— Т ....

До речі, і мені просто цікаво, чи існують відомі додатки, які принесуть користь такому «надшвидкому» алгоритму?

— Хуан Бермеджо Вега

@J ffE, чи знаєте ви, чи обчислюється подвійна модульна експоненція над в BPP для тривіального ?. Тому що це проблема для обчислення коефіцієнтів матриці.

ε

$\varepsilon$

N

$N$

N

$N$

— Хуан Бермеджо Вега

Відповіді:

Взагалі існує теоретичний алгоритм часу для знаходження LU-декомпозиції довільної матриці за допомогою алгоритму Копперсміта-Винограда , який, очевидно, дає детермінантний (додаючи час). Однак існує проблема, що алгоритм Копперсміта-Винограда на практиці не вважається корисним. Афаїк, люди в основному використовують алгоритм Страссена часу . Чи не Підвищіть UBLAS в lu_factorize використовувати це? $O(n^{2.376})$ $O(n)$ $O(n^{2.807})$

У вашому випадку матриця Мура повинна допускати значні оптимізації, оскільки в основному будь-яка процедура усунення Гаусса, як-от процедура розкладання LU, може бути виконана абстрактно. Дійсно, ви знайдете приємну формулу для обчислення детермінант Мура, на яку посилається wikipedia , і це, мабуть, доводиться просто розробкою розкладу LU загалом. $O(n)$

— Джефф Бурдж
джерело

Привіт Джефф: Яке посилання ви звертаєтесь до формули O (n ^ 2). Я думаю, що вандермондський дет можна обчислити в О (nlogn), але я не можу знайти посилання. Отож, Мур де також повинен бути в O (nlogn)?

— Т ....

Так, я мав би сказати O (n) очевидно, дійсно O (n log n) для великих n.

— Джефф Бурджес

Привіт Джефф: У вас є довідка?

— Т ....

@JeffBurdges: Якщо час запуску становить O (n log n) "для великих n", то за визначенням час виконання - O (n log n), а не O (n).

— Jeffε

Я не бачу формули

посилається Вікіпедія. У кращому випадку це виглядає

O (n)

$O(n)$

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

— Пітер Тейлор

Важливо, що у наданому вами визначенні матриця живе в кінцевому полі, скажімо, де є простим. Це дозволяє використовувати теорему Ейлера для обчислення подвійних експоненціалів які з'являються в матриці за час . Інакше здається важким навіть обчислити матричні коефіцієнти без факторизації . $\mathbb{Z}_m$ $m$ $a^{q^e}\mod m$ $O(\log (mn) \; M(\log m))$

a^{q^{i}} \equiv a^{q^{i} (\mod φ (m))} (\mod m)

$a^{q^i}\equiv a^{q^i\pmod{\varphi(m)}}\pmod m$

m

$m$

Якщо є простим або його можна ефективно розподілити, найгірша складність переважає кількість етапів, необхідних для множення матриці . Наприклад, підхід звичайної форми Сміта, про який я згадував у публікації партнера , обчислить визначник у часі якщо ви використовуєте "повільно" алгоритми множення . може бути вибрана як 2.373. $m$ $O(n^\omega)$ $O\left( n^\omega \; \log^2m\; \log (mn) \right)$ $^*$ $\omega$

Ви отримуєте уповільнення у Moore vs Vandermonde, оскільки ви повинні подвоїти експоненцію коефіцієнтів матриці. Коли ви можете розподілити це уповільнення є просто полілогіармічним на . Якщо ні, представлений алгоритм дає скорочення Кука до подвійної модульної експоненції на . $m$ $m$ $\mathbb{Z}_m$

Примітка *: більш швидкі алгоритми для цілого множення дозволяють замінити на . $\log^2 m$ $M(\log m \log\log m)$

Оновлення : про можливість досягнення . $O(n\log^a n)$

Я не маю однозначної відповіді на це, але знайшов деяку інформацію, яка може посилити ваш пошук.

Алгоритми структурованих матриць, які обчислюють величини, такі як детермінанти в часі , в літературі називаються "надшвидкими". Усі відомі "надшвидкісні" алгоритми для структурованих матриць (Вандермонд, Топліц, Хенкель), схоже, покладаються на загальну властивість цієї матриці, відому як низький "ранг переміщення". Розгляньте обговорення в першому розділі цієї книги (сторінки з відкритим доступом) або в цій статті [ACM] , [PDF] . $O(n\log^a n)$

З того, що я прочитав, враховуючи Мур матриці , якщо ви були в змозі знайти матриці , , так що нова матриця (або як альтернативи ) має таку структуру $m\times n$ $M$ $A$ $B$ $L(M)=AM-MB$ $L(M)=M- AMB$

L (M) = \sum_{k = 1}^{r} g_{k} h_{k}^{T}

$L(M) = \sum_{k=1}^r g_k h_k^T$

, а ранг невеликий (або постійний, або обмежений ), тоді ви можете застосувати існуючі методи (перевірте розділ 5 книги, відкрите- доступ до сторінок) до триангулізації і, отже, обчислення , використовуючи . Вище , позначають вектори. Якщо ви не можете знайти книгу вище, щоб прочитати всю справу, у цій статті є також багато інформації про ці методи. $r>0$ $o(\text{min} \;\{m,n\})$ $M$ $\det{M}$ $O(n\log^2 n)$ $g_k$ $h_k$

На жаль, мені не вдалося знайти структуру ранжирів з низьким зміщенням для матриці Мура (Вандермонд має). Основне ускладнення тут, здається, виникає з "нелінійного" характеру подвійної експоненції. Якщо це допомагає, у книзі опрацьовуються справи про Вандермонде, Коші, Тепліц, Хенкель.

— Хуан Бермеджо Вега
джерело

Я можу зробити свою матрицю живою в полі . Однак розмір алфавітів для моєї призначеної програми буде великим. Отже має форму для деякого досить великого .

3

$3$

m

$m$

3^{k}

$3^{k}$

k

$k$

— Т ....

Це добре, оскільки ви можете обчислити тотативну функцію :)

3^{k}

$3^k$

— Juan Bermejo Vega

добре, що не спрощує складність, я б сказав, оскільки поле дуже велике.

— Т ....

Це спрощує проблеми, які я згадую з подвійною експоненцією. Оскільки , ви можете використовувати теорему Ейлера, щоб подвоїти показник : по-перше, обчислити , то . Це можна зробити за час . Використовуючи алгоритм розмноження школи, , і ви отримаєте остаточну "нетто" вартість яка є ефективною.

φ (3^{k}) = 3^{k} - 3^{k - 1}

$\varphi(3^k)=3^k-3^{k-1}$

a^{q^{i}} \mod m

$a^{q^i}\mod m$

b = q^{i} \mod φ (3^{k})

$b=q^i\mod \varphi(3^k)$

a^{b} \mod 3^{k}

$a^b\mod 3^k$

O (\log (n 3^{k}) M (k \log 3))

$O(\log(n3^k)M(k \log3))$

M (n) = n^{2}

$M(n)=n^2$

O (n^{ω} k^{2} l o g^{2} 3 (\log n + k \log 3))

$O(n^\omega k^2 log^2 3 (\log n + k\log 3))$

— Хуан Бермеджо Вега

Чи можемо ми замінити на ? Це економія, про яку мені цікаво (можливо, це можливо з матричної структури). З я нічого не отримую за своїм призначенням.

ω

$\omega$

1 + ϵ

$1 + \epsilon$

ω \geq 2

$\omega \ge 2$

— Т ....