Деривація леми Іто

Я потрапляю в ціноутворення на активи і дивився на лему Іто, але не можу зрозуміти декілька кроків.

Лема Іто стверджує, що дана

$$ dx_t = dt + sigma dz_t y_t = f (t, x_t) $$

потім

$$ (1) quad dy_t = frac {часткова f} {часткова t} dt + frac {часткова f} {часткова x} dx_t + frac {1} {2} frac {\ t ^ 2 f} {часткова x ^ 2} dx ^ 2_t \ t

Я розумію цю частину, використовуючи правило ланцюга і розширення Тейлора другого порядку, другого рівняння. Я не розумію, чому тоді дотримується наступне:

$$ (*) quad dy_t = ліва [frac {часткова f} {часткова t} + frac {часткова f} {часткова x} mu + frac {1} {2} {часткова ^ 2 f} {часткова x ^ 2} сигма ^ 2]] dt + ліва [frac {часткова f} {часткова x} сигма права] dz_t.

Коли я підміню в $ dx_t $ в $ (1) $ і використовую той факт, що $ dz ^ 2_t = dt $, недостатньо, щоб прийти до $ (*) $. Я думаю, що $ dx ^ 2_t $ можна буквально інтерпретувати як $ (dx_t) ^ 2 $, але якщо є кращий спосіб обробки цього терміна, будь-яке керівництво там буде оцінено.

$$ dx_t = dt + sigma dz_t y_t = f (t, x_t) $$

Ключова ідея полягає в тому, що $ left (dx_t праворуч) ^ 2 = ліворуч (ldots right) dt ^ 2 + ліворуч (ldots право) dzdt + sigma ^ 2 dz_t ^ 2 = sigma ^ 2 dt $. Невиправданим є те, що $ left (dz_t право) ^ 2 = dt $ і всі інші терміни (тобто $ dt ^ 2 $ і $ dz dt $) нескінченно менше $ dt $.

Жахливо вільна інтуїція для $ dz_t ^ 2 = dt $ полягає в тому, що $ dz_t $ нормально розподіляється з дисперсією $ dt $, і, отже, очікування квадрата $ dz_t $ дорівнює $ dt $.

У будь-якому випадку ми маємо:

start {align *} quad dy_t & amp; frac {часткова f} {часткова t} dt + frac {часткова f} {часткова x} dx_t + frac {1} {2} frac {часткова ^ 2 f } {часткова x ^ 2} dx ^ 2_t & amp; frac {часткова f} {часткова t} dt + frac {часткова f} {часткова x} ліва (mu dt + sigma dz_t право) + frac {1} {2 } frac {часткова ^ 2 f} {часткова x ^ 2} sigma ^ 2 dt. & amp; = left (frac {часткова f} {часткова t} + frac {часткова f} {часткова x} mu + frac {1} {2} frac {часткова ^ 2 f } {часткова x ^ 2} сигма ^ 2) dt + ліва (frac {часткова f} {часткова x} право) sigma dz_t end {align *}

Що є лемою Іто.

Можливо, ваша формула Іто просто невірна. Подивись на:

http://www.columbia.edu/~mh2078/stochastic_calculus.pdf

На сторінці 6 ви знайдете лему Ітоса. Вам не потрібно інтерпретувати $ dx_t ^ 2 $ як $ (dx_t) ^ 2 $. Частина $ dx_t ^ 2 $ у вашій формулі насправді $ (dx_t) ^ 2 $.