Чи спричиняє неприязнь до ризику зменшення граничної корисності чи навпаки?

Дозволяє $A$ бути сукупністю можливих станів світу або можливих уподобань, які людина може мати. Дозволяє $G(A)$ бути набором "азартних ігор" або "лотерей", тобто набором розподілів ймовірностей по $A$ . Тоді кожна людина матиме переважне впорядкування штатів у Росії $A$ , а також бажане замовлення лотерей в $G(A)$ . Теорема фон Неймана-Моргенштерна стверджує, що, припускаючи упорядкування вашого уподобання $G(A)$ підкоряється певним аксіомам раціональності, ваші уподобання можуть бути представлені функцією корисності . (Ця функція унікальна до множення скалярів та додавання констант.) Це означає, що для будь-яких двох лотерей та у ви віддаєте перевагу до тоді і лише тоді, коли очікуване значення під більше ніж очікуване значення під . Іншими словами, ви максимізуєте очікуване значення функції корисності. $u: A → ℝ$ $L_1$ $L_2$ $G(A)$ $L_1$ $L_2$ $u$ $L_1$ $u$ $L_2$

Тепер тільки те, що ви максимізуєте очікувану цінність своєї корисної функції, не означає, що ви максимізуєте очікувану вартість реальних речей, таких як гроші. Зрештою, люди нерідко ризикують; кажуть "птах у руці стоїть у кущі дві". Відраза від ризику означає, що ви оцінюєте азартні ігри менші за очікувану вартість отриманих грошей. Якщо ми висловимо це поняття з точки зору корисної функції фон Неймана-Моргенштерна, то ми отримаємо такий результат через нерівність Дженсена: людина ризикує навпаки тоді і лише тоді, коли їх корисна функція є увігнутою функцією ваших грошей, тобто мірою, в якій Ви не ризикуєте - це те саме, наскільки у вас зменшується гранична корисність грошей. (Див. Сторінку 13 цього PDF .)

Моє запитання, в якому напрямку рухається причинно-наслідкова зв’язок? Чи відображають значення функції корисності фон Неймана-Моргенштерна інтенсивність ваших уподобань, і чи не спричиняється ризик через зменшення переваг майбутніх себе, які є благополучними порівняно з уподобаннями майбутніх версій себе, які бідніші і, таким чином, цінні? гроші більше (як пропонує тут Бред Делонг )? Або причинно-наслідковий зв’язок працює іншим способом: чи толерантність до ризику визначає форму вашої функції корисності, щоб функція корисності фон Неймана-Моргенштерна нічого не говорила про відносну інтенсивність ваших уподобань?

— Кешав Шрінівасан
джерело

Відповіді:

Я думаю, що я знайшов відповідь на своє запитання у цій уривці з статті Нобелівського лауреата Джона Харсанія 1994 року "Нормативна обгрунтованість та значення фон neumann-morgenstern", представленої на дев'ятому Міжнародному конгресі логіки, методології та філософії Наука. Гарсаній починає з доведення тієї ж леми, яку довів Алекос у своїй відповіді, а саме: якщо - функція утиліти vNM окремої людини, то $u$ $u(10) - u(5) < u(5) - u(0)$ якщо і лише тоді, коли вони віддадуть перевагу гарантованим 5 доларам порівняно з 50% 10 доларів та 50% шансом 0 доларів. У розділі коментарів я сказав, що недостатньо для того, щоб продемонструвати, що функція корисності vNM являє собою інтенсивність уподобань, бо що робити, якщо власне задоволення та біль індивіда точно описані якоюсь іншою функцією корисності , яка є монотонною трансформацією, а не афінною трансформацією з ? В цьому випадку не може не задовольняє властивість очікуваного значення, і не міг ? $v$ $u$ $v$ $v(10) - v(5) = v(5) - v(0)$

Гарсаній має розумний аргумент, що займається цим питанням. Нехай буде лотереєю, де ви отримаєте 5 доларів гарантовано, - лотерея, де у вас є 50% шанс 10 доларів і 50% шанс 0 доларів, і буде лотереєю, де у вас є 50% шансів 10 доларів і 50% шанс 5 доларів. Тоді, очевидно, людина віддає перевагу і і . І Джон Харсані стверджує , що переважно менш сильно , ніж переважно тоді і тільки тоді , коли . Це тому, що у виборі між, $L_1$ $L_2$ $L_3$ $L_3$ $L_1$ $L_2$ $L_3$ $L_1$ $L_3$ $L_2$ $v(10) - v(5) < v(5) - v(0)$ $L_3$ проти , 50% часу вони отримують 5 доларів, і 50% часу їм доводиться робити вибір між 10 і 5. Аналогічно у виборі між та , 50% часу вони отримують 10 доларів, і 50% часу вони мають зробити вибір між 5 і 0. $L_1$ $L_3$ $L_2$

Тепер тут іде головний штрих: віддається перевагу якщо і лише тоді, коли віддається менш сильно, ніж , віддається перевагу . Тому є кращим перед тоді і лише тоді, коли . І таким чином ми дійшли великого висновку, що тоді і тільки тоді, коли . $L_1$ $L_2$ $L_3$ $L_1$ $L_3$ $L_2$ $L_1$ $L_2$ $v(10)-v(5) < v(5) -v(0)$ $u(10) - u(5) < u(5) - u(0)$ $v(10)-v(5) < v(5) -v(0)$

Таким чином, Харасаній доходить висновку, що функція утиліти vNM представляє інтенсивності переваг. Отже, відповідь на моє запитання здається, що зменшення граничної корисності у функції утиліти vNM відображає справжню зменшувальну граничну корисність, коли мова йде про інтенсивність уподобань, і, таким чином (якщо припустити, що аксіоми vNM є істинними) зменшення граничної корисності дійсно є причиною ризику відраза.

До речі, в бічній записці мені цікаво, чи можна було б ідентифікувати набір усіх функцій які задовольняють обмеженню, що якщо і тільки якщо (і аналогічно для більшого та рівного). (EDIT: Я запитав про це на Mathematics.SE тут .) $v$ $u(x) - u(y) < u(z) - u(w)$ $v(x)-v(y) < v(z) -v(w)$

— Кешав Шрінівасан
джерело

@AlecosPapadopoulos Дякую! Але це доказ насправді не є випадком "роботи аксіом"; функція зовсім не повинна задовольняти властивості очікуваного значення.

v

$v$

— Кешав Шрінівасан

@AlecosPapadopoulos До речі, я тільки що відправив ще одне питання , що стосується теорії очікуваної корисності , що ви можете бути зацікавлені в: economics.stackexchange.com/q/5304/4447

— Кеша Шрінівасан

Функція корисності - це представлення переваг, які традиційно виводяться з варіантів. Переваги стають перед корисністю. Я б не називав зв’язок між корисністю та вподобаннями причинності, а лише математичними відносинами.

Відмова від ризику (перевагу до ризику) не пов'язаний із дисконтуванням, що вимірює перевагу в часі. Немає сенсу говорити, що відраза від ризику пояснюється дисконтуванням переваг майбутніх "я".

— Сандер Хайнсалу
джерело

"Я б не назвав зв'язок між корисністю та уподобаннями причинністю, а лише математичними відносинами". Ну, суть мого питання не в тому, чи приводять переваги до функцій корисності. Ось що я принципово запитую: чи відображають значення корисної функції фон Неймана-Моргенштерна інтенсивність уподобань чи вони просто відображають ставлення до ризику, що не має нічого спільного з інтенсивністю уподобань? І, до речі, під знижкою я не маю на увазі знижку на час. Я маю на увазі оцінку версій себе в деяких можливих ф'ючерсах більше, ніж версій в інших ф'ючерсах.

— Кешав Шрінівасан

Очікуване корисне представлення переваг унікальне аж до суворо зростаючих афінних перетворень. Корисні значення не мають значення, лише їхнє ранжування має значення. Ви можете помножити функцію корисності на 2, наприклад, з налаштуваннями без змін.

— Сандер Хайнсалу

@KeshavSrinivasan Можливо, обидва хочуть оновити питання / відповідь додатковою інформацією, яку ви розмістили тут у коментарях. Можливо, питання також задається занадто формально (і як таке, занадто тривалий). Я відчуваю, що дізнався щось, просто читаючи ці коментарі тут.

— FooBar

@SanderHeinsalu Давайте розберемо дві речі. Існує додаткова інформація, передана наявністю функції утиліти vNM, а саме інформація про те, що людина задовольняє аксіоми vNM. Але я говорю про інформацію, яку передає сама функція vNM. Тобто, якщо x, y і z є трьома нерухомими елементами A, то величина (u (x) - u (y)) / (u (y) - u (z)) змінюється від людини до людини (серед людей, які задовольняють аксіоми vNM), але вона не відрізняється між різними функціями утиліти vNM для однієї людини. Тож ця кількість передає людині щось конкретне.

— Кешав Шрінівасан

Ставлення до ризику є частиною уподобань. Так воно передає як відношення до ризику, так і інтенсивність переваги в певному сенсі. Але є і незалежна від держави корисна програма vNM, яка розслаблена в деяких пізніших теоріях рішення. Це можна інтерпретувати як однакову інтенсивність переваги споживання в різних станах, при цьому вся різниця корисності від споживання в різних станах приписується ймовірності держав.

— Сандер Хайнсалу

Властивість Очікувана утиліта - це не властивість, яка залежить від функціональної форми функції корисності. Його існування залежить від задоволення певних "аксіом" (які більш гостро можна було б охарактеризувати як "умови"), що мають відношення до уподобань / поведінки людини. Їм може бути надано строгий математичний вираз (що добре), але вони мають відношення до уподобань, тобто до того, як буде визначена будь-яка функціональна форма для функції корисності. Подивимось, що це означає. У коментарі ОП написала

"... якщо x, y і z є трьома нерухомими елементами A, то величина змінюється від людини до людини ( серед людей, які задовольняють аксіоми vNM), але вона не відрізняється між різними функціями утиліти vNM для однієї людини. Тому ця кількість передає людині щось конкретне ". $[u(x) - u(y)]/[u(y) - u(z)]$

Це робить.

Цитуючи з Jele & Renyi (2011) "Розширену мікроекономічну теорію" (3-е видання) , гол. 2 с. 108

"Ми робимо висновок, що співвідношення різниць корисності має притаманне значення щодо переваг індивіда, і вони повинні приймати однакове значення для кожного представлення утиліти VNM (слабке відношення переваг). Тому представлення утиліти VNM надають явно більше, ніж порядкова інформація про уподобання особи, що приймає рішення, бо в іншому випадку через відповідні монотонні перетворення такі співвідношення можуть припускати багато різних значень ".

У своєму прикладі перед цитатою вони це показують

\frac{[u (x) - u (y)]}{[u (y) - u (z)]} = \frac{1 - α}{α}

$\frac {[u(x) - u(y)]}{[u(y) - u(z)]} = \frac {1-\alpha}{\alpha}$

де - ймовірність, яка відображає вподобання, які ми моделюємо. Ще раз цитата (стор. 107) $\alpha$

"Добре зауважте, що число ймовірності визначається і відображається вподобаннями керівника рішення. Це значуще число. Не можна його подвоїти, додати до нього константу або будь-яким чином перетворити, не змінюючи також уподобання, з яким воно асоціюється ". $\alpha$

І - це шанси (не "коефіцієнт шансів"). $(1-\alpha)/\alpha$

Отже ось ви: функція утиліти vNM пов'язана з шансами, які можуть характеризувати переваги людини.

ДОДАТКУ
Після цікавого, але занадто тривалого обміну думками та думками у коментарях з ОП я вирішив покращити цю відповідь прикладом, щоб показати, що в контексті конкретної теорії переваг, яку ми обговорюємо, "інтенсивність переваг "(як це неофіційно обговорюється тут) не може бути відмежовано від" ставлення до ризику "- вони нерозривно пов'язані.

Припустимо, що людина заявляє (як він має повне право): "Мої уподобання одноманітні, і я віддаю перевагу більше менше. Більше того, наступні п’ять євро дадуть мені таку ж корисність, як і п'ять після них". Зауважте, що мова йде про особу - ми не можемо ставити під сумнів його, чи може утиліта бути кардинальною чи ні. Починаючи з нуля для зручності, ми символізуємо його твердження як

\begin{matrix} (1) & u (10) - u (5) = u (5) - u (0) ⟹ u (5) = \frac{1}{2} u (0) + \frac{1}{2} u (10) \end{matrix}

$u(10) - u(5) = u(5) - u(0) \implies u(5) = \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) \tag {1}$

У контексті обговорення з ОП це твердження про "інтенсивність переваг".

Далі ми представляємо цій людині наступний вибір: він може отримати євро, або він може взяти участь у азартній де він отримає євро з імовірністю або євро з ймовірністю . Потім особа заявляє, що категорично вважає за краще з певністю отримати євро. Це твердження, що розкриває "ставлення до ризику". $5$ $G$ $0$ $1/2$ $10$ $1/2$ $5$

Запитання: Чи можуть уподобання цієї особи, як описано у двох його твердженнях, представлені функцією утиліти, яка має властивість очікуваної утиліти?

Відповідь: Ні.

Доказ: Своєю другою заявою особа виявила, що еквівалент азартних ігор суворо менше євро: $CE_G$ $5$

Тому ми маємо це

\begin{matrix} (2) & E [u (G)] = u (C E_{G}) < u (5) \end{matrix}

$E[u(G)] = u(CE_G) < u(5) \tag{2}$

Тепер, щоб мати властивість Очікувана утиліта, воно має бути таким

\begin{matrix} (3) & u [G; p (G)] = E [u (G)] = \frac{1}{2} u (0) + \frac{1}{2} u (10) \end{matrix}

$u[G;p(G)] = E[u(G)] = \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) \tag{3}$

Завдяки (який виражає "ставлення до ризику" особистості) ми маємо це $(2)$

\begin{matrix} (4) & (2), (3) ⟹ \frac{1}{2} u (0) + \frac{1}{2} u (10) < u (5) \end{matrix}

$(2), (3) \implies \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) < u(5) \tag {4}$

Але це суперечить , що виражає "інтенсивність переваг" особистості. $(1)$

Отже, ми робимо висновок, що особа, уподобання якої описуються вищевикладеними твердженнями, не може бути представлена функцією утиліти, яка має властивість очікуваної утиліти.

Іншими словами, для властивості очікуваної утиліти "ставлення до ризику" не може бути відмежоване від "інтенсивності переваг". Якби особа заявила, що йому байдуже між певними євро та азартною групою , його переваги могли бути представлені функцією корисності, яка мала власність ЄС. Але для досягнення цього нам довелося «узгодити» ставлення до ризику з «інтенсивністю переваг». $5$ $G$

— Алекос Пападопулос
джерело

Гаразд, тепер, коли ми встановили, що кількість говорить вам щось про людину, моє питання залишається, чи вона вам каже щось про інтенсивність уподобань? Наприклад, якщо , це обов'язково означає, що вони віддають перевагу від 10 доларів до 5 доларів менш сильно, ніж вони віддають перевагу від 5 доларів до 0 доларів? Або це просто вказує на ставлення до ризику (тобто переваги над ), що нічого не говорить про інтенсивність переваг?

\frac{u (x) - u (y)}{u (y) - u (z)}

$\frac {u(x) - u(y)}{u(y) - u(z)}$

\frac{u (10) - u (5)}{u (5) - u (0)} = \frac{1}{3}

$\frac {u(10) - u(5)}{u(5) - u(0)}= \frac{1}{3}$

G (A)

$G(A)$

— Кешав Шрінівасан

@KeshavSrinivasan Він займає інтенсивність, але не вимірює інтенсивності.

— Алекос Пападопулос

Гаразд, але чому це навіть рейтинг інтенсивності? Чому той факт, що необхідний, означає, що перевага людини на 10 доларів понад 5 доларів є менш сильним, ніж перевага особи на 5 доларів понад 0 доларів?

u (10) - u (5) < u (5) - u (10)

$u(10) - u(5) < u(5) - u(10)$

— Кешав Шрінівасан

якщо ви подивитесь на посилання, яке я надав у своїй відповіді, ви побачите, що ваші числові приклади говорять: "Ця людина байдужий між доларами з упевненістю і азартною грою, де він отримує доларів з імовірністю та доларів з вірогідністю . А, але це "ставлення до ризику", можна сказати, "не інтенсивності переваг". І хто сказав, що "ставлення до ризику" є чимось відмежованим від "інтенсивності переваг"? CONTD

5

$5$

10

$10$

3 / 4

$3/4$

0

$0$

1 / 4

$1/4$

— Алекос Пападопулос

ДОДАТИ Якщо мені подобається "плюс 5", менший, ніж мені не подобається "мінус 5", чи не логічно думати, що, коли мова заходить про невизначеність, я помиляюся трохи більше на стороні того, що не програю 5, а не виграю 5 більше? Пам'ятайте, що функція корисності, що виявляє відраза від ризику, також виявляє зменшення граничної корисності багатства. Ставлення до ризику та "інтенсивність переваг" дуже тісно пов'язані.

— Алекос Пападопулос