Перетворення компонентів контролера PID із зворотним зв'язком стану в єдину функцію передачі та дискретну форму простору стану

Я боровся з цією проблемою вже близько тижня, як частина багаторічного проекту. Ми розробляємо контролер для конкретного реактора на основі моделі. Переглянувши це деякий час, я все ще не можу змусити це працювати - тому я дуже вдячний, якщо зможу отримати допомогу.

Один з опублікованих оглядів літератури, який ми ґрунтуємось на списках PID-контролера для кожного окремого компонента замість комбінованого рівняння, наприклад:

{\begin{cases} P (n) = K_{p} [G (n) - t a r g e t] \\ I (n) = I (n - 1) + \frac{K_{p}}{T_{I}} [G (n) - t a r g e t] \\ D (n) = K_{p} T_{D} \frac{d G}{d t} (n) \end{cases}

$\begin{cases} P(n)=K_p[G(n)-target] \\I(n)=I(n-1)+\frac{K_p}{T_I}[G(n)-target]\\D(n)=K_pT_D\frac{dG}{dt}(n)\end{cases}$

Просто поєднуючи три компоненти у вихід PID-контролера:

P I D (n) = P (n) + I (n) + D (n)

$PID(n)=P(n)+I(n)+D(n)$

І звідси автор додає додатковий шар зворотного зв’язку стану поверх PID-сигналу, щоб отримати кінцевий вихід контролера, застосований у системі.

{\begin{cases} Q (n) = K_{0} R (n - 1) + K_{1} Q (n - 1) - K_{2} Q (n - 2) \\ R (n) = (1 + γ) P I D (n) - γ Q (n - 1) \end{cases}

$\begin{cases} Q(n)=K_0R(n-1)+K_1Q(n-1)-K_2Q(n-2)\\R(n)=(1+\gamma)PID(n)-\gamma Q(n-1)\end{cases}$

А R - кінцевий "вихід контролера". Тут $K_p$ - посилення процесу, $T_I$ і $T_D$ - це інтегральні та похідні посилення, $K_0, K_1$ і $K_2$ - " посилення ", налаштовані на зворотний стан (незмінний), а $\gamma$ - константа, 0,5. $G(n)$ - стан системи, $Q(n)$ - оціночний стан, який впливає на динаміку моделі, а $R(n)$ - фактичний кінцевий вихід, який надсилається на завод.

Я намагався спочатку перетворити все на функцію передачі єдиного контролера, але мені сказали, що просто додати їх разом не вийде.

Я також мав завдання знайти дискретний представлення простору стану цього контролера. Для цього я спробував змінити на щоб позбутися цієї проблеми. $\frac{dG}{dt}(n)$ $G(n)-G(n-1)$

Далі я спробував визначити нову змінну стану для щоб і можна було перетворити в перший порядок. $Q(n)$ $Q(n-1)$ $Q(n-2)$

Потім я спробував замінити значення на контролер PID, щоб отримати як змінну стану. Усі ці зусилля базувалися на рекомендаціях мого професора. $G(n)$

Однак я все ще сильно застряг, тому що я сліпо слідую його вказівкам без загального бачення, щоб працювати над цим. Я думав, що це буде проста справа перетворення Тустіна - о, як я дуже помилявся ...

Я дуже розчарований, тому що після тижневих зусиль я все ще спотикаюся тим, що видається простою проблемою.

Якщо можливо, я можу покірно попросити вашої допомоги з цих двох конкретних питань?

Перетворіть цей контролер в єдину функцію передачі контролера (як це зазвичай видно в будь-якому представленні функції передачі, тобто ) $G(s)=\frac{1}{s+1}$
Перетворити цей контролер в дискретний представлення простору стану, залишивши частоту вибірки як змінну?

control-system pid-controller

— Джон Гальт
джерело

MATLAB і Maple можуть вирішити ці проблеми. У мене є обидві програми. Я надрукував вашу публікацію і спробую їх опрацювати. Я щось із цього робив у коледжі.

— Веслі Вортман

Чи можете ви дати назву видання?

— Хазем

Це не повна відповідь, але я сподіваюся, що це може допомогти.

Ви можете переписати першу систему як

{\begin{cases} P (n) = K_{P} E (n) \\ I (n) = I (n - 1) + \frac{K_{P}}{T_{I}} E (n) Δ t \\ D (n) = K_{P} T_{D} \frac{E (n) - E (n - 1)}{Δ t} \end{cases}

$\begin{cases} P(n) = K_P E(n) \\ I(n) = I(n-1) + \frac{K_P}{T_I} E(n) \Delta t \\ D(n) = K_P T_D \frac{E(n) - E(n-1)}{\Delta t} \end{cases}$

Де і - ваш інтервал вибірки. Зауважте, що і не визначаються як . і це відповідно інтегральний коефіцієнт підсилення та похідне посилення. $E(n) = G(n) - target(n)$ $\Delta t$ $T_D$ $T_I$ $K_I = \frac{K_P}{T_I}$ $K_D = K_P T_I$

Тепер ви можете переписати систему як єдину функцію помилки.

P I D (n) = P (n) + I (n) + D (n)

$PID(n) = P(n) + I(n) + D(n)$

I (n - 1) = P I D (n - 1) - P (n - 1) - D (n - 1) = P I D (n - 1) - K_{P} E (n - 1) - K_{P} T_{D} \frac{E (n - 1) - E (n - 2)}{Δ t}

$I(n-1) = PID(n-1) - P(n-1) - D(n-1) \\ = PID(n-1) - K_P E(n-1) - K_P T_D \frac{E(n-1) - E(n-2)}{\Delta t}$

P I D (n) = K_{P} E (n) + P I D (n - 1) - K_{P} E (n - 1) - K_{P} T_{D} \frac{E (n - 1) - E (n - 2)}{Δ t} + \frac{K_{P}}{T_{I}} E (n) Δ t + K_{P} T_{D} \frac{E (n) - E (n - 1)}{Δ t} = P I D (n - 1) + K_{P} ((1 + \frac{Δ t}{T_{I}} + \frac{T_{D}}{Δ t}) E (n) - (1 + 2 \frac{T_{D}}{Δ t}) E (n - 1) + \frac{T_{D}}{Δ t} E (n - 2))

$PID(n) = K_P E(n) + PID(n-1) - K_P E(n-1) - K_P T_D \frac{E(n-1) - E(n-2)}{\Delta t} + \frac{K_P}{T_I} E(n) \Delta t + K_P T_D \frac{E(n) - E(n-1)}{\Delta t} \\ = PID(n-1) + K_P \left(\left(1 + \frac{\Delta t}{T_I} + \frac{T_D}{\Delta t} \right)E(n) - \left(1 + 2\frac{T_D}{\Delta t} \right)E(n-1) + \frac{T_D}{\Delta t} E(n-2) \right)$

Другий - трохи складніше переписати як єдине рівняння, але це можна зробити аналогічно. Результат повинен бути

R (n) = K_{1} R (n - 1) - (γ K_{0} + K_{2}) R (n - 2) + (1 + γ) (P I D (n) - K_{1} P I D (n - 1) + K_{2} P I D (n - 2))

$R(n) = K_1 R(n-1) - (\gamma K_0 + K_2) R(n-2) + (1+\gamma) (PID(n) - K_1 PID(n-1) + K_2 PID(n-2))$

Тепер вам потрібно лише замінити рівняння PID, щоб отримати рівняння регулятора як функції помилки.

— гвграмазіо
джерело