Як досягти рівномірної швидкості руху по кривій Безьє?

Я намагаюся перемістити зображення по кривій Безьє. Ось як я це роблю:

- (void)startFly
{    
 [self runAction:[CCSequence actions:
             [CCBezierBy actionWithDuration:timeFlying bezier:[self getPathWithDirection:currentDirection]],
             [CCCallFuncN actionWithTarget:self selector:@selector(endFly)],
             nil]];

}

Моє питання полягає в тому, що зображення рухається не рівномірно. На початку він рухається повільно, а потім прискорюється поступово, а в кінці рухається дуже швидко. Що мені робити, щоб позбутися цього прискорення?

Можна наблизити рішення цієї проблеми для більшості параметричних траєкторій. Ідея полягає в наступному: якщо ви наближаєтесь до кривої досить глибоко, ви не зможете в цій точці позначити саму криву від її дотичної.

Здійснюючи це припущення, немає необхідності попередньо обчислювати більше двох векторів (три для кубічних кривих Безьє тощо ).

Отже для кривої $M(t)$ обчислюємо її дотичний вектор $\frac{dM}{dt}$ у точці$t$. Норма цього вектора$\lVert \frac{dM}{dT} \rVert$і, таким чином, пройдена відстань протягом тривалості$\Delta t$може бути приблизна як. Звідси випливає, що відстаньпройде протягом тривалості.$\lVert \frac{dM}{dT} \rVert \Delta t$$L$$L \div \lVert \frac{dM}{dT} \rVert$

Застосування: квадратична крива Безьє

Якщо контрольними точками кривої Безьє є , і , траєкторію можна виразити так:$A$$B$$C$

$$\begin{align} M(t) &= (1-t)^2A + 2t(1-t)B + t^2C \\ &= t^2(A - 2B + C) + t(-2A + 2B) + A \end{align}$$

Отже, похідна:

$$\frac{dM}{dt} = t(2A - 4B + 2C) + (-2A + 2B)$$

Вам просто потрібно десь зберігати вектори і . Тоді для заданого , якщо ви хочете просунути довжину , зробіть:$\vec v_1 = 2A - 4B + 2C$$\vec v_2 = -2A + 2B$$t$$L$

$$t = t + {L \over length(t \cdot \vec v_1 + \vec v_2)}$$

Кубічні криві Безьє

Це ж міркування стосується кривої з чотирма контрольними точками , , і :$A$$B$$C$$D$

$$\begin{align} M(t) &= (1-t)^3A + 3t(1-t)^2B + 3t^2(1-t)C + t^3D \\ &= t^3(-A + 3B - 3C + D) + t^2(3A - 6B + 3C) + t(-3A + 3B) + A \end{align}$$

Похідна:

$$\frac{dM}{dt} = t^2(-3A + 9B - 9C + 3D) + t(6A - 12B + 6C) + (-3A + 3B)$$

Ми попередньо обчислюємо три вектори:

$$\begin{align} \vec v_1 &= -3A + 9B - 9C + 3D \\ \vec v_2 &= 6A - 12B + 6C \\ \vec v_3 &= -3A + 3B \end{align}$$

і остаточна формула:

$$t = t + {L \over length(t^2 \cdot \vec v_1 + t \cdot \vec v_2 + \vec v_3)}$$

Питання точності

Якщо ви працюєте з розумним кадром, (який слід обчислити відповідно до тривалості кадру) буде достатньо малим для наближення до роботи.$L$

Однак у крайніх випадках у вас можуть виникнути неточності. Якщо занадто великий, ви можете зробити обчислення кусочно, наприклад, використовуючи 10 частин:$L$

for (int i = 0; i < 10; i++)
    t = t + (L / 10) / length(t * v1 + v2);

Вам потрібно перемагнітити криву. Найпростіший спосіб зробити це - обчислити довжину дуги декількох відрізків кривої та використовувати їх, щоб визначити, звідки слід взяти вибірку. Наприклад, можливо при t = 0,5 (на півдорозі), ви повинні пройти s = 0,7 до кривої, щоб отримати положення "на півдорозі". Для цього потрібно зберегти список довжин дуг різних сегментів кривих.

Можливо, є кращі способи, але ось кілька дуже простих кодів C #, які я написав, щоб це зробити у своїй грі. Порт до об'єкта C повинен бути легким:

public sealed class CurveMap<TCurve> where TCurve : struct, ICurve
{
    private readonly float[] _arcLengths;
    private readonly float _ratio;
    public float length { get; private set; }
    public TCurve curve { get; private set; }
    public bool isSet { get { return !length.isNaN(); } }
    public int resolution { get { return _arcLengths.Length; } }

    public CurveMap(int resolution)
    {
        _arcLengths = new float[resolution];
        _ratio = 1f / resolution;
        length = float.NaN;
    }

    public void set(TCurve c)
    {
        curve = c;
        Vector2 o = c.sample(0);
        float ox = o.X;
        float oy = o.Y;
        float clen = 0;
        int nSamples = _arcLengths.Length;
        for(int i = 0; i < nSamples; i++)
        {
            float t = (i + 1) * _ratio;
            Vector2 p = c.sample(t);
            float dx = ox - p.X;
            float dy = oy - p.Y;
            clen += (dx * dx + dy * dy).sqrt();
            _arcLengths[i] = clen;
            ox = p.X;
            oy = p.Y;
        }
        length = clen;
    }

    public Vector2 sample(float u)
    {
        if(u <= 0) return curve.sample(0);
        if(u >= 1) return curve.sample(1);

        int index = 0;
        int low = 0;
        int high = resolution - 1;
        float target = u * length;
        float found = float.NaN;

        // Binary search to find largest value <= target
        while(low < high)
        {
            index = (low + high) / 2;
            found = _arcLengths[index];
            if (found < target)
                low = index + 1;
            else
                high = index;
        }

        // If the value we found is greater than the target value, retreat
        if (found > target)
            index--;

        if(index < 0) return curve.sample(0);
        if(index >= resolution - 1) return curve.sample(1);

        // Linear interpolation for index
        float min = _arcLengths[index];
        float max = _arcLengths[index + 1];
        Debug.Assert(min <= target && max >= target);
        float interp = (target - min) / (max - min);
        Debug.Assert(interp >= 0 && interp <= 1);
        return curve.sample((index + interp + 1) * _ratio);
    }
}

Редагувати: Варто зазначити, що це не дасть точної довжини дуги, оскільки неможливо отримати довжину дуги кубічної кривої. Все це робить - оцінка довжини різних сегментів. Залежно від того, яка тривалість кривої може знадобитися збільшити роздільну здатність, щоб не допустити зміни швидкості, коли вона досягне нового сегмента. Зазвичай я використовую ~ 100, з чим у мене ніколи не було проблем.

Дуже легким рішенням є наближення швидкості, а не наближення кривої. Насправді цей підхід не залежить від функції кривої і дозволяє використовувати будь-яку точну криву замість використання похідних або наближень.

Ось код для C # Unity 3D:

public float speed; // target linear speed

// determine an initial value by checking where speedFactor converges
float speedFactor = speed / 10; 

float targetStepSize = speed / 60f; // divide by fixedUpdate frame rate
float lastStepSize;

void Update ()
{   
    // Take a note of your previous position.
    Vector3 previousPosition = transform.position;

    // Advance on the curve to the next t;
    transform.position = BezierOrOtherCurveFunction(p0, p1, ..., t);

    // Measure your movement length
    lastStepSize = Vector3.Magnitude(transform.position - previousPosition);

    // Accelerate or decelerate according to your latest step size.
    if (lastStepSize < targetStepSize) 
    {
        speedFactor *= 1.1f;
    }
    else
    {
        speedFactor *= 0.9f;
    }

    t += speedFactor * Time.deltaTime;
}

Хоча рішення не залежить від функції кривої, я хотів зазначити це тут, оскільки я також шукав, як досягти постійної швидкості на кривій Безьє, і тоді я придумав це рішення. Враховуючи популярність функції, це може бути корисним тут.

Я нічого не знаю про cocos2, але крива Безьє - це своєрідне параметричне рівняння, тому ви повинні мати можливість отримати свої значення x і y у часі.