Відповіді:
Чотиризмінне подання площини - коефіцієнти в рівності
ax + по + cz = d
Це можна розглядати як N = ( a , b , c ), що є нормальним вектором, а d - відстань від початку координат (в одиницях довжини довжини N ), і це рівняння ми можемо записати також як N P = d , де P = ( x , y , z ).
Таке уявлення не дозволяє визначити конкретне "походження площини" - математичні площини не мають витоків. (Однак буває, що оскільки N · P = d, ми можемо встановити P = ( d | N | -2 ) N і отримати на площині конкретну точку: точку, яка є найближчою до початку координатної системи .)
Якщо ви змінюєте = на <або>, ви описуєте "напівпростір", який можна використовувати для таких речей, як нескінченна підлога в двигуні фізики; протилежний напівпростір виходить запереченням N і d .
"Типово" - це досить суб'єктивне слово, на мій досвід, є різний спосіб описати площину в тривимірному просторі, які є більш поширеними через властивості, які проявляють такі конструкції.
Щодо вашого питання, то для визначення площини в тривимірному просторі можна використовувати 4 реальних значення. Як ви вказували, a, b, c можуть бути компонентами вектора, перпендикулярним до потрібної площини. Якщо N = (a, b, c) - наш перпендикулярний вектор, ви можете знайти у вашій площині точку, яка P = d N, для деякого d реальна і додатна. Тут ви кажете, що d - відстань від початку в терміні N ; якщо N - одиничний вектор, то d - відстань між початком і вашою площиною так, як зазвичай розуміється термін "відстань" .
Дивно, але ви можете визначити будь-яку можливу орієнтовану площину, оскільки ви можете використовувати негативні значення d ; таким чином ви втрачаєте пряме значення d як відстань, поки не поставите його в абсолютне значення ( | d | ).
Наскільки я знаю, площину зазвичай визначають позицією, щоб сказати нам, де походження, і нормальне, спрямоване вгору від площини, щоб сказати нам, яку орієнтацію ми маємо. Для цього звичайна практика використовувати два вектори.
З чотирма змінними у вас недостатньо змінних, щоб визначити площину, яка не має початку (0,0,0), або недостатньо змінних для обліку всіх обертів.
Мінімум, який нам знадобиться для площини в 3D-евклідовому просторі з початком, який не знаходиться на (0,0,0) і може бути орієнтований у будь-якому випадку, який ми хочемо, є 5. Уявіть собі одиничну сферу, нам потрібно 3 змінні для визначення місця походження одиничної сфери дорівнює (X, Y, Z). Тоді нам потрібні дві змінні, щоб визначити, де знаходиться «вгору» площини. Ми можемо це зробити, використовуючи описаний вектор, рухаючись від походження сфери до поверхні, заданої широтою та довготою.
Як би ви реконструювали площину із лише чотирма змінними, я не знаю. Можливо, ви працюєте у вузькій області (площина завжди знаходиться на (0,0,0), а чотири змінні - кватерніон?) Або змінні не є скалярами? У якому контексті ви використовуєте це a, b, c, d?