Чи є якесь загальне твердження про те, які проблеми можна вирішити ефективніше за допомогою квантового комп'ютера?

Чи є загальне твердження про те, які проблеми можна вирішити ефективніше за допомогою квантових комп'ютерів (лише модель квантових воріт)? Чи спільні властивості, для яких сьогодні відомий алгоритм?

Наскільки я розумію, квантові обчислення допомагають прихованій задачі підгрупи (Shor); Алгоритм Гровера допомагає прискорити проблеми пошуку. Я читав, що квантові алгоритми можуть забезпечити прискорення, якщо шукати "глобальну властивість" функції (Grover / Deutsch).

1. Чи є більш чітке і правильне твердження про те, де можуть допомогти квантові обчислення?
2. Чи можна дати пояснення, чому квантова фізика може допомогти там (бажано, щось глибше, що «втручання можна використовувати»)? І чому це, можливо, не допоможе для інших проблем (наприклад, для проблем, повних NP)?

Чи є відповідні документи, які обговорюють саме це?

Це питання я раніше задавав на сайті cstheory.stackexchange.com, але він тут може бути більш підходящим.

Про обчислювальну корисність загалом

Не розуміючи цього, ви ставите версію одного з найскладніших питань, які ви, можливо, можете задати про теоретичну інформатику. Ви можете задати те саме питання щодо класичних комп'ютерів, тільки замість того, щоб додати "квантовість", корисно, ви можете запитати:

• Чи є стисле твердження про те, де рандомізовані алгоритми можуть допомогти?

  Тут можна сказати щось дуже розпливчасте - якщо ви вважаєте, що рішень вдосталь (або що кількість рішень якоїсь підпроблеми є вдосталь), але систематично це може бути важко побудувати, то корисно мати змогу зробити вибір навмання, щоб подолати проблему систематичної побудови. Але будьте обережні, іноді причина, чому ви знаєте, що існує достатня кількість рішень для субпроблеми, полягає в тому, що існує доказ з використанням ймовірнісного методу . У такому випадку ви знаєте, що кількість рішень вдосталь, зменшуючи до того, що насправді є корисним рандомізованим алгоритмом!

  Якщо у вас немає іншого способу виправдати той факт, що кількість рішень є достатньою для цих випадків, не існує простого опису, коли випадковий алгоритм може допомогти. І якщо у вас є досить високі вимоги «корисності» (суперполіномальна перевага), тоді ви запитуєте, чи , що є невирішеною проблемою в теорії складності. $\mathsf P \ne \mathsf{BPP}$
  
  

• Чи є стисле твердження про те, де паралелізовані алгоритми можуть допомогти?

  Тут справи можуть бути дещо кращими. Якщо проблема виглядає так, ніби вона може бути розбита на безліч незалежних підпроблем, то її можна паралелізувати - хоча це невиразно, "ви це дізнаєтесь, коли побачите" свого роду критерій. Головне питання - чи дізнаєтесь ви це, коли побачите? Ви могли б здогадатися, що тестування доцільності систем лінійних рівнянь над раціональними не тільки паралельно можливим, але може бути вирішено за допомогою схем 2 n ) -глобин [cf Comput. Складні. 8(с. 99--126), 1999]?$O(\log^2 n)$

  Один із способів, за допомогою якого люди намагаються намалювати інтуїцію великої картини, - це підійти до питання в протилежному напрямку і сказати, коли відомо, що паралелізований алгоритм не допоможе. Зокрема, це не допоможе, якщо проблема має для неї суттєвий послідовний аспект. Але це є круговим, оскільки "послідовний" просто означає, що структура, яку ви можете бачити для проблеми, така, яка не паралельна.

  Знову ж таки, немає простого, вичерпного опису, коли паралельний алгоритм може допомогти. І якщо у вас є досить високі вимоги «корисності» (полі-логарифмічна верхня межа часу, припускаючи паралелізацію поліномів), то ви запитуєте, чи $\mathsf P \ne \mathsf{NC}$ , що знову є невирішеною проблемою в теорії складності .
  
  

На даний момент перспективи "стислого і правильного опису, коли [X] корисний", не надто великі. Хоча ви можете протестувати, що ми тут занадто суворі: мотивуючи більш високу поліноміальну перевагу, ми навіть не могли стверджувати, що недетерміновані машини Тьюрінга були "корисними" (що явно абсурдно). Ми не повинні вимагати такої високої планки - за відсутності методик для ефективного вирішення задоволення, ми повинні принаймні погодитись, що якби ми якось могли отримати недетерміновану машину Тьюрінга, ми дійсно вважали б її дуже корисною . Але це відрізняється від того, щоб ми могли точно охарактеризувати, для яких проблем ми б вважали його корисним.

Про корисність квантових комп'ютерів

Зробивши крок назад, чи можна щось сказати про корисність квантових комп'ютерів?

Можна сказати так: квантовий комп'ютер може зробити щось цікаве лише тоді, коли він скористається структурою проблеми, недоступною для класичного комп’ютера. (На це натякають зауваження щодо "глобальної властивості" проблеми, як ви згадуєте). Але ми можемо сказати більше, ніж це: проблеми, вирішені квантовими комп’ютерами в моделі унітарних схем, дозволять створити деякі особливості цієї проблеми як унітарні оператори . Особливостями проблеми, недоступної класичним комп’ютерам, будуть всі ті, які не мають (імовірно) статистично значущого відношення до стандартної бази.

• У випадку алгоритму Шора ця властивість є власними значеннями оператора перестановки, який визначається через множення на кільце.
• У випадку алгоритму Гровера ця властивість полягає в тому, чи відображається відображення про множину позначених станів з відображенням про рівномірну суперпозицію - це визначає, чи має ітератор Гровера будь-які власні значення, які не є $\pm 1$ .

Не особливо дивно бачити, що в обох випадках інформація стосується власних значень та власних векторів. Це відмінний приклад властивості оператора, який не повинен мати жодного змістовного відношення до стандартної бази. Але немає жодної конкретної причини, чому інформація повинна бути власним значенням. Все, що потрібно - це вміти описати унітарний оператор, кодуючи якусь релевантну особливість проблеми, яка не очевидна з огляду стандартної бази, але є доступ до якого - небудь іншим легко описаному способу.

Зрештою, все це говорить про те, що квантовий комп'ютер корисний, коли можна знайти квантовий алгоритм для вирішення проблеми. Але принаймні це широкий контур стратегії пошуку квантових алгоритмів, який не гірший, ніж широкі контури стратегій, які я описав вище для рандомізованих або паралельних алгоритмів.

Зауваження про те, коли квантовий комп'ютер є "корисним"

Як зазначали інші люди, "де квантові обчислення можуть допомогти" залежить від того, що ви маєте на увазі під "допомогою".

• Алгоритм Шора часто вимальовується в таких дискусіях, і раз у раз люди зазначають, що ми не знаємо, що факторизація не вирішується в поліноміальне час. Тож ми насправді знаємо, що "квантові обчислення були б корисні для факторизації чисел"?

  Окрім труднощів у реалізації квантових комп'ютерів, я думаю, що тут розумною відповіддю є «так»; не тому, що ми знаємо, що ви не можете ефективно використовувати фабрику за допомогою звичайних комп'ютерів, а тому, що ми не знаємо, як би ви це зробили за допомогою звичайних комп’ютерів. Якщо квантові комп'ютери допомагають вам зробити щось, до чого ви не маєте кращого підходу, мені здається, що це "допомога".

• $O(2^{0.386\,n})$

  Можливо, алгоритм Гровера як такий не особливо корисний. Однак це може бути корисно, якщо ви використовуєте його для розробки більш розумних класичних стратегій поза грубої формою пошуку: використовуючи амплітудну амплітуду , природне узагальнення алгоритму Гровера до більш загальних параметрів, ми можемо покращити ефективність багатьох нетривіальних алгоритмів для SAT (див., Наприклад, [ACM SIGACT News  36 (pp.103--108), 2005 р. - посилання у форматі PDF ); підказка шапки до Мартіна Шварца, який вказав мені на це посилання у коментарях).

  Як і в алгоритмі Гровера, амплітудне посилення дає лише поліномічні прискорення: але, кажучи практично, навіть полінома прискорення може бути цікавою, якщо її не вимиє накладні витрати, пов'язані із захистом квантової інформації від шуму.

TL; DR: Ні, у нас немає жодного точного "загального" твердження про те, які саме проблеми можуть вирішити квантові комп'ютери , з точки зору теорії складності. Однак у нас є приблизна ідея.

Відповідно до під-статті Вікіпедії про відношення до теорії складності обчислювальної техніки

Клас задач, які можна ефективно вирішити квантовими комп'ютерами, називається BQP , для "обмеженої помилки, квантового, поліноміального часу". Квантові комп'ютери виконують лише ймовірнісні алгоритми , тому BQP на квантових комп'ютерах є аналогом BPP ("обмежена помилка, імовірнісний, поліноміальний час") на класичних комп'ютерах.Він визначається як набір задач, що вирішуються за допомогою алгоритму поліноміального часу, вірогідність помилки якого обмежена однією половиною . Кажуть, що квантовий комп'ютер "вирішує" проблему, якщо для кожного випадку його відповідь буде правильною з великою ймовірністю. Якщо це рішення працює в поліноміальний час, то ця проблема полягає в BQP.

BQP міститься в класі складності #P (а точніше в асоційованому класі задач рішення P ^#P ), який є підкласом PSPACE .

Підозрюється, що BQP не відрізняється від NP-повного та суворого суперсети P, але це не відомо. І ціла множинна факторизація, і дискретний журнал знаходяться в BQP. Обидві ці проблеми є проблемами НП, які підозрюються за межами БПП, а отже, і поза П. Обох підозрюють, що вони не є повними. Існує загальна помилка, що квантові комп'ютери можуть вирішувати задачі, повні з NP, у поліноміальний час. Це невідомо, що це правда, і, як правило, його підозрюють.

Здатність квантового комп'ютера прискорити класичні алгоритми має жорсткі межі - верхні межі складності квантових обчислень. Переважну частину класичних обчислень неможливо пришвидшити на квантовому комп'ютері. Аналогічний факт має місце для конкретних обчислювальних завдань, як-от проблема пошуку, для якої алгоритм Гровера є оптимальним.

Механіка Бохмана - це не локальна прихована змінна інтерпретація квантової механіки. Було показано, що нелокальний прихований змінний квантовий комп'ютер може здійснювати пошук бази даних N-елементів не більше ніж у${\displaystyle O({\sqrt[{3}]{N}})}$кроки. Це трохи швидше, ніж$\displaystyle O({\sqrt {N}})$кроки, зроблені алгоритмом Гровера. Жоден метод пошуку не дозволить квантовим комп'ютерам вирішити задачі NP-Complete у поліноміальний час.

Хоча квантові комп'ютери можуть бути швидшими, ніж класичні комп'ютери для деяких типів проблем, описані вище не можуть вирішити жодну проблему, яку класичні комп'ютери вже не можуть вирішити. Машина Тьюрінга може імітувати ці квантові комп'ютери, тому такий квантовий комп'ютер ніколи не може вирішити нерозв'язну проблему, як проблему зупинки. Існування "стандартних" квантових комп'ютерів не спростовує тезу Церкви – Тьюрінга. Мислили, що теорії квантової гравітації, такі як М-теорія або квантова гравітація циклу, можуть дозволити будувати навіть більш швидкі комп'ютери. В даний час визначення обчислень у таких теоріях є відкритою проблемою через проблему часу, тобто наразі не існує очевидного способу описати, що означає спостерігачеві подати вхід на комп'ютер і пізніше отримати вихід.

Що стосується того, чому квантові комп'ютери можуть ефективно вирішувати проблеми BQP:

1. Кількість кубітів у комп'ютері може бути поліноміальною функцією розміру екземпляра. Наприклад, алгоритми відомі для факторингу an$n$-бітове ціле, використовуючи трохи більше $2n$ кубіти (алгоритм Шор).

2. Зазвичай обчислення на квантовому комп'ютері закінчуються вимірюванням. Це призводить до краху квантового стану до одного з базових станів. Можна сказати, що квантовий стан вимірюється в правильному стані з високою ймовірністю.

Цікаво, що якщо теоретично дозволити пост-вибір (який не має масштабованої практичної реалізації), ми отримаємо клас складності після BQP :

У теорії складності обчислень PostBQP - це клас складності, що складається з усіх обчислювальних задач, розв’язуваних у поліноміальному часі на квантовій машині Тьюрінга з постселекцією та обмеженою помилкою (в тому сенсі, що алгоритм правильний принаймні 2/3 часу на всіх входи). Однак постселекція не вважається особливістю, якою володіє реалістичний комп'ютер (навіть квантовий), але все-таки машини післявибору є цікавими з теоретичної точки зору.

Я хотів би додати те, що @ Дискретна ящірка згадується в розділі коментарів. Ви чітко не визначили, що ви маєте на увазі під "може допомогти", однак, правило в теорії складності полягає в тому, що якщо квантовий комп'ютер "може допомогти" з точки зору розв'язування в поліномічний час (із похибкою, пов'язаною з помилкою), якщо викладете клас Проблема, яку вона може вирішити, лежить у BQP, але не в P або BPP. Загальне співвідношення між класами складності , які ми обговорювали вище запідозрили бути:

$\text{P $\subseteq$ BPP $\subseteq$ BQP $\subseteq$ PSPACE}$

Однак P = PSPACE - це відкрита проблема в галузі інформатики . Також відносини між P і NP поки не відомі.

Такої загальної заяви немає, і навряд чи вона буде скоро. Я поясню, чому це так. Для часткової відповіді на ваше запитання може допомогти перегляд проблем у двох класах складності BQP та PostBQP.

Класи складності, найбільш близькі до проблем, які можуть ефективно вирішити квантові комп'ютери моделі квантових воріт

1. BQP ; і
2. PostBQP

BQP складається з задач, які можна вирішити в многочленному часі на квантовому контурі. Найбільш важливі квантові алгоритми, такі як алгоритм Шор, вирішують проблеми в BQP.

PostBQP складається з задач, які можуть бути вирішені в поліноміальний час у квантовому ланцюзі, який може додатково виконувати постселекцію. Це набагато потужніше, як PostBQP$=$ПП , клас, що містить ПП.

Однак в даний час немає методів практичної реалізації постселекції, тому PostBQP представляє більше теоретичного інтересу.

Відносини між P, NP та BQP наразі невідомі; і відкрита проблема щодо порядку P проти NP. Як загальне твердження про те, які види проблем можна вирішити ефективніше за допомогою квантових комп'ютерів, слід відповісти на питання BQP проти P (якщо BQP = P, то, очевидно, квантові комп'ютери не є більш ефективними (принаймні для теоретиків складності))

Подібно до картини Блю, мені більше подобається цей із журналу Quanta , оскільки він, здається, візуально підсумовує те, про що ми говоримо.