Моделювати емілію гамільтонів

11

Я намагаюся розібратися, як моделювати еволюцію кубітів під час взаємодії гамільтоніанців із термінами, записаними як тензорний добуток матриць Паулі в квантовому комп'ютері. Я знайшов наступний трюк у книзі Нільсена та Чуанга, який пояснюється в цій публікації для гамільтоніана форми

Н = Z_{1} \otimes Z_{2} \otimes . . . \otimes Z_{н}

$H = Z_1 \otimes Z_2 \otimes ... \otimes Z_n$ .

Але докладно не пояснено, як би працювало моделювання для гамільтоніана з термінами, що включають матриці Паулі абоЯ розумію, що ви можете перетворити ці Паулі в Z, вважаючи, що де - ворота Адамара, а також де - ворота фази . Як саме я повинен використовувати це для реалізації, наприклад, $X$ $Y$ $HZH = X$ $H$ $S^{\dagger}HZHS =Y$ $S$ $i$

Н = Х \otimes Y

$H= X \otimes Y$

Що робити, якщо тепер Гамільтоніан містить суму доданків з матрицями Паулі? Наприклад

Н = Х_{1} \otimes Y_{2} + Z_{2} \otimes Y_{3}

$H = X_1 \otimes Y_2 + Z_2 \otimes Y_3$

hamiltonian-simulation nielsen-and-chuang pauli-gates

— Пам
джерело

3

Скажімо, у вас є гамільтоніана вигляду

H = σ_{1} \otimes σ_{2} \otimes σ_{2} \otimes \dots \otimes σ_{n}

$H=\sigma_1\otimes\sigma_2\otimes\sigma_2\otimes\ldots\otimes\sigma_n$ Існує прямолінійна конструкція ланцюга, яка дозволяє реалізувати її еволюцію часу

e^{- i H t}

$e^{-iHt}$ . Хитрість полягає в основному розкладатися стан , що ви складається в компоненти , які знаходяться в

\pm 1

$\pm 1$ власні підпростору

H

$H$ . Потім ви застосовуєте фази

e^{- i t}

$e^{-it}$ до

+ 1

$+1$ власному простору, а фаза

e^{- i t}

$e^{-it}$ до

- 1

$-1$ власного простору. Наступний контур виконує цю роботу (і не розраховує розкладання в кінці).

Я припускаю, що елемент фазового затвора в середині застосовує єдиний

(\begin{array}{cc} е^{i т} & 0 \\ 0 & е^{- i т} \end{array}) .

$\left(\begin{array}{cc} e^{it} & 0 \\ 0 & e^{-it} \end{array}\right).$

Загалом, якщо ви хочете еволюціонувати деякі гамільтонові $H=H_1+H_2$ де $H_1$ і $H_2$ мають попередню форму, то набагато найпростіше розкласти еволюцію як

е^{- i Н т} \approx {(е^{- i Н_{1} т / М} е^{- i Н_{2} т / М})}^{М}

$e^{-iHt}\approx \left(e^{-iH_1t/M}e^{-iH_2t/M}\right)^M$ для деяких великих

M

$M$ (хоча є алгоритми зі значно кращою поведінкою масштабування), і кожен з цих малих кроків

e^{- i H_{1} t / M}

$e^{-iH_1t/M}$ може бути реалізовано з попереднім контуром.

Однак, іноді є розумніші речі, які ти можеш зробити. Ваш додатковий приклад,

Н = Х \otimes Y \otimes Я + Z \otimes Я \otimes Y

$H=X\otimes Y\otimes\mathbb{I}+Z\otimes\mathbb{I}\otimes Y$ - один з таких випадків. Я б почав із застосування єдиного обертання

U = \frac{Z + Y}{\sqrt{2}}

$U=\frac{Z+Y}{\sqrt{2}}$ до кубіти 2 і 3. Це еквівалентно до воріт Адамар, але перетворює

Y

$Y$ в

Z

$Z$ замість

X

$X$ . Тепер зупиніться на мить і подумайте. Якщо кубіти 2 і 3 знаходяться в 00, то ми застосовуємо

(X + Z)

$(X+Z)$ до кубіту 1. Для 01 це -

(X - Z)

$(X-Z)$ , для 10 - це

(Z - X)

$(Z-X)$ , а для 11 -

- (X + Z)

$-(X+Z)$ . Далі застосуємо контрольоване, а не від кубіта 2 до кубіта 3. Це просто перестановить базові елементи трохи. Тепер це говорить про те, що ми маємо застосувати гамільтоніан

(- 1)^{x_{2}} (X + (- 1)^{x_{3}} Z)

$(-1)^{x_2}(X+(-1)^{x_3}Z)$ до стану кубіта 1, якщо кубіти 2 і 3 знаходяться в станах

x_{2} x_{3}

$x_2x_3$ . Далі пам’ятайте, що

X + Z = \sqrt{2} H

$X+Z=\sqrt{2}H$ (Хадамар, а не гамільтоніан), і це

X \sqrt{2} H X = X - Z

$X\sqrt{2}HX=X-Z$ . Отже, це дає нам простий спосіб конвертувати між двома бітами гамільтоніана. Ми просто замінимо ці два

X

$X$ s контрольованими нотами, контрольованими кубітом 3. Так само ми можемо використовувати ідентифікацію ланцюга,

де цього разу замінимо

X

$X$ s контрольованими нотами, контрольованими від кубіта 2

В цілому, я вважаю, що моделювання виглядає так, що це може виглядати складно, але немає жодного розбиття на невеликі часові кроки, які накопичують помилки, коли ви йдете далі. Він застосовуватиметься не дуже часто, але варто пам’ятати про подібні можливості.

— DaftWullie
джерело

Що означає квадратний кореневий фактор у крапці - ворота?

— Енріке Сегура

@EnriqueSegura точно такий же, як і інший, про який ви тільки що запитували: фазовий затвор з міченим кутом повороту.

— DaftWullie

1

Хитрість полягає в тому, що якщо у нас є гамільтонів $H$ з діагоналізацією $H=UDU^\dagger$ , то $e^{it H} = U e^{it D} U^\dagger$ .

Зокрема, якщо у вас є гамільтоніан, який є добутком Паулі $H = \sigma_1\otimes\cdots\otimes \sigma_n$ (де для простоти вважаємо $\sigma_i \neq I$ для всіх $i$ ), тоді ми можемо діагоналізувати $H$ як

H = (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'}) Z \otimes \cdot \otimes Z (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'})

$H = (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n) Z\otimes\cdot\otimes Z (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n)$

В результаті:

e^{i t H} = (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'}) e^{i t Z \otimes \cdot \otimes Z} (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'})

$e^{it H} = (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n) e^{it Z\otimes\cdot\otimes Z} (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n)$

Оскільки матриці Паулі легко реалізувати на квантовому комп'ютері, і ми вже знаємо, як робити $e^{it Z\otimes Z}$ , то ми це робимо.

Якщо гамільтоніан - це сума продуктів Паулі, то немає загального простого рішення, але ви можете використовувати формулу товару Lie, обрізану деякою великою кількістю термінів, щоб звести її до вищезазначеної проблеми.

— Джон
джерело

0

$e^{-\Delta t H}$

— Джордж
джерело