коваріаційна матриця в EKF?

16

Я борюся з концепцією коваріаційної матриці. Тепер, моє розуміння , і що вони опишіть невизначеність. Наприклад, для

Σ = [\begin{matrix} σ_{x x} & σ_{x y} & σ_{x θ} \\ σ_{y x} & σ_{y y} & σ_{y θ} \\ σ_{θ x} & σ_{θ y} & σ_{θ θ} \end{matrix}]

$\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{x \theta} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{y \theta} \\ \sigma_{\theta x} & \sigma_{\theta y} & \sigma_{\theta \theta} \\ \end{bmatrix}$

σ_{x x}

$\sigma_{xx}$

σ_{y y}

$\sigma_{yy}$

σ_{θ θ}

$\sigma_{\theta \theta}$

σ_{x x}

$\sigma_{xx}$ , вона описує невизначеність значення х. Тепер моє запитання щодо решти сигм, що вони представляють? Що означає, якщо вони нулі? Я можу інтерпретувати, що якщо

дорівнює нулю, це означає, що я не маю невизначеності щодо значення x.

σ_{x x}

$\sigma_{xx}$

Зауважте, я читаю Принципи руху роботів - теорія, алгоритми та втілення від Howie Choset et. ін., де зазначено, що

За цим визначенням те саме, що дисперсія . Для , якщо , то і не залежать один від одного. $\sigma_{ii}$ $\sigma_{i}^{2}$ $X_{i}$ $i ≠ j$ $\sigma_{ij} = 0$ $X_{i}$ $X_{j}$

Це може відповісти на моє запитання, якщо решта сигм нулі, однак я все ще плутаю зв’язок між цими змінними, наприклад та . Коли це відбувається? Я маю на увазі співвідношення між ними. Або іншими словами, чи можу я вважати їх нулями? $x$ $y$

Ще одна книга, а саме FastSLAM: Масштабований метод ... Майкла та Себастьяна

Позадіагональні елементи матриці коваріації цієї багатоваріантної Гаусса кодують кореляції між парами змінних стану.

Вони не згадують, коли кореляція може статися і що це означає?

kalman-filter noise

— CroCo
джерело

5

Ось один випадок іграшки, коли за межами діагональних елементів немає нуля.

Розглянемо вектор стану, який включає положення як лівого, так і правого коліс, а не лише одного положення для робота. Тепер, якщо ліве колесо має положення 100 м, то ви знаєте, що праве колесо також матиме положення приблизно 100 м (залежно від довжини осі). Як ліве колесо збільшує положення, так і праве колесо, взагалі. Це не точне співвідношення 1: 1, наприклад, воно не відповідає точно, коли робот повертається, але в цілому він утримується.

Тож тут позадіагональний запис між положенням x лівого колеса та позицією правого колеса буде близьким до 1.

— ryan0270
джерело

Гаразд, якщо моя модель представлена як точка, яка рухається в планарному середовищі (ei 2D), то позадіагональні елементи є нулями, оскільки між діагональними елементами немає таких співвідношень. Чи правильне це припущення? А як бути, якщо ця точка виявить орієнтир, який має дві координати (ei

), чи можу я припустити також кореляційні нулі?

x, y

$x, y$

— CroCo

До вашого першого питання, так, ви можете залишити позадіагональні елементи нульовими. По-друге, це свого роду залежить від того, як ви впораєтеся. Якщо ви просто використовуєте орієнтир для оцінки своєї поточної позиції, кореляції немає. Якщо додати орієнтири до вектору стану (як це часто в SLAM), вони почнуть формувати кореляції між собою.

— ryan0270

4

Щоб відчути матрицю коваріації - не потрапляючи сюди до математичних деталей - найкраще почати з матриці 2x2. Потім пам’ятайте, що матриця коваріації - це продовження концепції дисперсії в мультиваріантному випадку. У випадку 1D дисперсія є статистикою для однієї випадкової величини. Якщо ваша випадкова величина має гауссова розподіл з нульовим середнім, її дисперсія може точно визначити функцію щільності ймовірності.

$\sigma_{xx}$ $\sigma_{yy}$ $x$ $y$ $\sigma_{xy}$

$x$ $y$ $x$ $y$ $\sigma_{xy}$

$x$ $y$ $x$ $y$

$\theta$

$1 \sigma$

Це справедливо і в 3D-справі. Я хотів би отримати тут більше математичного, але, можливо, через деякий час.

— Якоб
джерело

Σ

$\Sigma$

x

$x$

y

$y$

1

@CroCo Я думаю, що приклад, про який ви просите, описаний у четвертому пункті відповіді.

— Деметрис