Цікаво, що це питання виникло вчора, оскільки я щойно закінчив реалізацію, яка робить це.
Моє передумови
Для початку, дозвольте мені знати, що, хоча моя освіта є науковою обчислювальною технікою, всі роботи, які я робив після закінчення навчання, включаючи мою нинішню кандидата наук. роботи, займався обчислювальною електромагнітою. Тож, напевно, наші твори дещо схожі, оскільки ви, схоже, дивитесь на фізику (залежно від свого профілю).
FGMRES
Перш за все, те, що ви шукаєте, як уже згадував у коментарі Гвідо Канщат, називається гнучким GMRES або FGMRES. Посилання, включаючи псевдокод, є в [1]. У той час як мені іноді важко читати числові документи SIAM, [1] (і більшість інших робіт Саада, включаючи блискучу [B1], очевидно, юридично доступну безкоштовно в Інтернеті) відрізняється; стаття - це захоплююче прочитане, дуже чітко написане, з кількома приємними прикладами та пропозиціями щодо додатків.
FGMRES легко здійснити, особливо якщо у вас вже є ПРАВИЛЬНІ попередньо обумовлені GMRES. Зауважте тут ключове слово ПРАВО - якщо у вас лівий попередній обумовлений GMRES, тобто ви звикли вирішувати MAx = Mb, то вам доведеться внести кілька модифікацій. Порівняйте [B1, Алгоритм 9.4 на пг. 282] до [В1, Алгоритм 9.5, с. 284]. Ви також можете знайти FGMRES в [B1, Алгоритм 9.6, стор. 287], але я б дуже закликав вас прочитати [1], оскільки він короткий, добре написаний і все ще має багато цікавих деталей.
Що це робить
FGMRES в основному дозволяє перемикати кондиціонери для кожної ітерації, якщо бажаєте. Одне з застосувань для цього полягає в тому, що ви можете використовувати попередній кондиціонер, який дуже добре працює, коли ви далеко від рішення, а потім перейти на інший, коли ви наближаєтесь. [2], яку я детально не читав, схоже, обговорюється щось подібне до цього.
Однак найцікавішою програмою в моєму випадку було те, що ви можете використовувати (попередньо обумовлений) GMRES як попередній умова для своїх FGMRES. Це причина типової назви для FGMRES, "внутрішня-зовнішня GMRES". Тут "зовнішній" позначає розв'язувач FGMRES, який (як попередній засіб) використовує "внутрішній" розв'язувач.
Отже, наскільки це добре на практиці?
У моєму випадку це спрацювало абсолютно геніально. У внутрішньому циклі я "вирішую" формулювання своєї проблеми зі зниженою складністю. Саме по собі це рішення є надто неточним для нашого використання, але воно працює чудово як попередній засіб. Зверніть увагу на "" навколо "вирішити" - не потрібно запускати внутрішній розв'язувач до конвергенції, оскільки ви шукаєте лише грубі наближення. У моєму випадку я перейшов від використання 151 ітерації, кожна вартістю 64 секунди, до 72 ітерацій, кожна вартістю 79 секунд (я використовував фіксовану 5 ітерацій у внутрішній GMRES). Це загальна економія години, без втрати точності та дуже мало роботи з кодуванням, оскільки у нас вже функціонував GMRES, який ми щойно зробили рекурсивним.
Для деяких застосувань цього матеріалу, що демонструють потенційну ефективність, див. [3] (який фактично використовує трирівневі FGMRES, тому FGMRES, FGMRES як внутрішній, з GMRES як внутрішній-внутрішній) та [4], що може бути занадто додаток, специфічний для вашого використання, але містить кілька цікавих тестових випадків.
Список літератури
[1] Ю. Саад, “Гнучкий внутрішній та зовнішній попередньо обумовлений алгоритм GMRES”, SIAM J. Sci. Склад., Вип. 14, вип. 2, стор. 461–469, березень 1993. http://www-users.cs.umn.edu/~saad/PDF/umsi-91-279.pdf
[2] Д.-З. Дін, Р.-С. Чен та З. Фан, “Передумований SSOR внутрішньо-зовнішній гнучкий метод GMRES для аналізу MLFMM розсіювання відкритих об'єктів”, Прогрес в електромагнітних дослідженнях, т. 89, с. 339–357, 2009. http://www.jpier.org/PIER/pier89/22.08112601.pdf
[3] Т. Ф. Ейберт, “Деякі результати розсіювання, обчислені методом поверхневого інтегрального рівняння та гібридними кінцевими елементами, гранично-інтегральними методами, прискореними багаторівневим швидким багатополюсним методом”, IEEE Antennas and Propagation Magazine, vol. 49, ні. 2, с. 61–69, 2007.
[4] Ö. Ергюл, Т. Малас та Л. Гюрель, “Рішення великих масштабних проблем електромагнітики за допомогою ітеративної внутрішньо-зовнішньої схеми з звичайними та приблизними багаторівневими швидкими багатополюсними алгоритмами”, Прогрес в електромагнітних дослідженнях, т. 106, с. 203–223, 2010. http://www.jpier.org/PIER/pier106/13.10061711.pdf
[B1] Ю. Саад, Ітеративні методи для розріджених лінійних систем. SIAM, 2003. http://www-users.cs.umn.edu/~saad/IterMethBook_2ndEd.pdf