Який сучасний стан техніки у вирішенні більш високих розмірів параболічних PDE (багатоелектронне рівняння Шредінгера)

11

Який сучасний рівень техніки для вирішення вищих розмірних (3-10) параболічних PDE в складному просторі з простими полюсами (форма ) і поглинаючи граничні умови? $\frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}$

Зокрема, мені цікаво вирішити багатоелектронне рівняння Шредінгера:

$\left( \sum_i \sum_{j\neq i}\left[ -\frac{\nabla_i^2}{2 m} - \frac{Z_i Z_j}{|\vec{r}_i - \vec{r}_j|} + V(\vec{r}_i, t) \right]\right)\psi = -i\partial_t \psi$

Для діатомової молекули з більш ніж 1 електроном.

parabolic-pde quantum-mechanics high-dimensional

— Ендрю Спотт
джерело

6

Рішення рівняння знаходяться в Якщо кількість електронівдосить мала,можна просто скористатися будь-якимтрадиційнимметодом. Як метод дискретизації домену (Кінцева різниця, Кінцевий елемент, Прикордонний елемент), або псевдоспектральний метод. Оскільки вирішити це рівняння не складніше, ніж розв’язати багатовимірне хвильове рівняння.

ψ \in С^{3 М} \times R^{+} .

$\psi \in \mathbb{C}^{3M}\times\mathbb{R}^+ \enspace .$

У випадку великих систем потрібен певний трюк , щоб отримати рішення. Замінюємо взаємодію електрон-електрон на взаємодію електрона з хмарою електронів (середнє наближення поля до решти їх), а потім розв'язуємо самовідповідно (через нелінійність, що надходить із середнього поля термін). Це зроблено в Теорії Хартрі-Фока та густини (DFT). Де вихідне диференціальне рівняння перетворюється на варіативну формулювання.

DFT - це найпоширеніший метод на сьогодні, і перевага полягає в тому, що всі рівняння формулюються з точки зору щільності електронів, а не з допомогою хвильових рівнянь. Отже, рівняння лежать у тривимірному просторі. Одна книга, яка описує обидва ці методи, - це

Тіссен, Джос. Обчислювальна фізика. Cambridge University Press, 2007. Посилання на Амазонку .

— nicoguaro
джерело

3

Ви хочете вирішити для 3-10 систем частинок (3D на частинку)? Наскільки мені відомо, середні теорії поля не працюють особливо добре для такої кількості частинок, але, схоже, DFT працював над діатомічними молекулами.

Це система, де діє Борн-Оппенгеймер? Якщо це так, я, можливо, схильний розширити електронну хвильову функцію за допомогою лінійної комбінації детермінантів Слейтера, можливо, використовуючи розріджену сітку або спектральну розріджену сітку. Цей документ, можливо, може допомогти .

Інший варіант - спробувати використовувати жорсткий зв'язуючий підхід, хоча той факт, що ви згадали поглинаючі граничні умови, говорить про те, що ви можете думати про проблеми, пов'язані з іонізацією / дисоціацією. Туберкульоз здебільшого корисний, якщо ви намагаєтеся наблизити стани низького рівня.

Можливо, щось на зразок мультиконфігураційного методу Хартрі-Фока може працювати тут як MCTDHF .

Нарешті, ви можете подивитися на квантові методи Монте-Карло. Це методи, за допомогою яких отримують обмінні та кореляційні функціональні моделі для окремих атомів для обчислення DFT. Схоже, є багатоатомні розширення. (У мене немає привілеїв посилання).

— Грег
джерело

3-10 розмірів, а не частинок: конкретно 1 - 3 електрона, 2 ядра (1d для ядер, 6d для частинок), без наближення Борна-Оппенгаймера. І я роблю речі типу іонізації.

— Ендрю Спотт

1

$M$ $3M$ $N$ $N$ $N^{3M}$ $M$ $N=10$ $10^9$

З цього розгляду випливає, що не можна розглядати проблему з усіма електронами одночасно - потрібно обмежитися одним або двома електронами одночасно. Це, природно, призводить до вас до таких методів, як метод Хартрі Фока, який перетворює електрони, зберігаючи решту системи.

Я не знаю цього місця досить добре, але уявіть, що існує ряд високо цитованих і добре написаних рецензуючих робіт на цю тему.

— Вольфганг Бангерт
джерело

10^{9}

$10^9$

Ну, ферміонічні системи мають досить багато (анти-) симетрій завдяки принципу Паулі, який можна використати, щоб значно зменшити число вільних ступенів (замість 3-мірного гіперкуба, потрібно лише розглянути відповідний симплекс, з яких куб містить (3М)! копій). Тому вам потрібні лише основні функції бінома (N, 3M) - все ще експоненціальні, але ростуть набагато повільніше. Це може поставити нижній кінець діапазону в межах досяжності бичачої робочої станції.

— Крістіан Класон

Можливо, для 3-електронної системи. Але ви все одно не зможете зробити нічого, крім цього. Це не залишає великої кількості молекул :-)

— Вольфганг Бангерт

Але питання запитувало лише 3-10 змінних :) (Але ваша точка дійсна: для всього, що має більшу кількість невеликої кількості електронів, вам потрібно врахувати приблизні моделі поля, такі як DFT; моя думка полягала в тому, що між "може бути вирішено стандартними підходами "і" можна вирішити лише приблизно ", існує нетривіальний спектр проблем, які" можна (тільки) вирішити за допомогою нестандартних підходів ".)

— Крістіан Класон