Шукаєте Runge-Kutta 8-го порядку в C / C ++

Я хотів би використовувати метод Runge-Kutta 8-го порядку (89) у застосуванні небесної механіки / астродинаміки, написаному на C ++, за допомогою машини Windows. Тому мені цікаво, чи хтось знає хорошу бібліотеку / програму, яка є документально підтвердженою та вільною для використання? Це нормально, якщо це написано на C, якщо не очікується жодних проблем із компіляцією.

Поки що я знайшов цю бібліотеку (міматліб) . Код здається нормальним, але я не знайшов жодної інформації щодо ліцензування.

Чи можете ви допомогти мені, розкривши деякі альтернативи, які ви могли б знати і відповідати моїй проблемі?

EDIT:
Я бачу, що насправді не так багато наявних вихідних кодів C / C ++, як я очікував. Тому версія Matlab / Octave також буде нормальною (все-таки має бути вільною у використанні).

І Наукова бібліотека GNU (GSL) (C), і Boost Odeint (C ++) мають методи Runge-Kutta 8-го порядку.

Обидва є відкритим джерелом, і під Linux та mac вони повинні бути безпосередньо доступними у менеджера пакунків. Під вікнами вам, мабуть, буде простіше використовувати Boost, а не GSL.

GSL публікується під ліцензією GPL, а Boost Odeint під ліцензією Boost.

Редагувати: Гаразд, у Boost Odeint НЕ є метод Runge-Kutta 89, лише 78, але він дає рецепт створення довільних кроків Runge-Kutta.

Однак методи 8-го порядку досить високі, і, швидше за все, надмірність для вашої проблеми.

Принц-Дорманд відноситься до конкретного виду Рунге-Кутта і не має прямого відношення до порядку, але найпоширенішим є 45. Matlabs ode45, що є їх рекомендованим алгоритмом ODE - це реалізація Prince-Dormand 45. Це той самий алгоритм, що і в Boost Odeint Runge_Kutta_Dopri5 .

Якщо ви використовуєте небесну механіку протягом тривалих масштабів, використання класичного інтегратора Runge-Kutta не збереже енергію. У цьому випадку, можливо, було б краще використовувати симплектичний інтегратор. Boost.odeint також реалізує симплектичну схему Runge-Kutta четвертого порядку, яка б працювала краще протягом тривалих часових інтервалів. Наскільки я можу сказати, GSL не реалізує жодних симплектичних методів.

підсумовуючи деякі моменти:

1. Якщо це довгострокова інтеграція недисапативної моделі, то симплектичний інтегратор - це те, що ви шукаєте.
2. В іншому випадку, оскільки це рівняння руху, методи Runge-Kutta Nystrom будуть більш ефективними, ніж перетворення в систему першого порядку. Існують методи RKN високого порядку завдяки ДП. Є деякі реалізації, як, наприклад, у Julia вони задокументовані, і ось такий MATLAB .
3. Методи Runge-Kutta високого замовлення потрібні лише в тому випадку, якщо ви хочете вирішити високу точність. Якщо це нижчі допуски, то РК 5-го порядку, швидше за все, буде швидшим (за ту ж помилку). Найкраще, якщо вам потрібно це часто вирішувати, - це протестувати купу різних методів. У цьому наборі орієнтирів щодо проблем із 3-ма тілами ми бачимо, що (за тією ж помилкою) методи RK високого порядку є лише незначним покращенням швидкості, хоча як помилка -> 0 ви бачите, що поліпшення вже йде до> 5x проти Dormand -Prince 45 ( DP5), коли ви дивитесь на чотири цифри точності (допуски є набагато нижчими для цього, хоча допуски - це лише бальний знак у будь-якій проблемі). Коли ви допустите допуски ще нижче, поліпшення методу РК високого порядку зростає, але, можливо, вам доведеться почати використовувати більш високі показники точності.
4. Алгоритм порядку Дорманд-Прінс 7/8 має іншу таблицю 8-го порядку, ніж метод DP853 методу Хайрера dop853та DifferentialEquations.jl DP8(які однакові). Останній метод 853 не може бути реалізований у стандартній таблиці-версії методу Runge-Kutta, оскільки його оцінка помилок нестандартний. Але цей метод набагато ефективніший, і я б не рекомендував використовувати навіть старі методи Фельберга 7/8 або DP 7/8.
5. Для методів РК високого порядку, золотим стандартом є методи Вернера "Ефективні" . Це відображається у орієнтирах, які я пов'язав. Ви можете кодувати їх у Boost самостійно або використовувати один з 2 пакетів, які реалізують їх, якщо ви хочете, щоб це було простіше (Mathematica або DifferentialEquations.jl).

Я хотів би додати, що хоча те, що пропонує Джефф Оксберрі для довгострокової інтеграції (використовуючи симплектичні інтегратори), є правдою, у деяких випадках це не спрацює. Більш конкретно, якщо у вас є дисипативні сили, ваша система більше не зберігає енергію, і тому в цьому випадку ви не можете вдатися до симплектичних інтеграторів. Особа, яка задала питання, говорила про низькі орбіти Землі, і такі орбіти виявляють велику кількість атмосферного затягування, тобто дисипативної сили, яка перешкоджає використанню таких симплектичних інтеграторів.

У цьому конкретному випадку (а також у випадках, коли ви не можете використовувати / не маєте доступу до / не хочете використовувати симплектичні інтегратори), я рекомендую використовувати інтегратор Bulirsch-Stoer, якщо вам потрібна точність та ефективність протягом тривалих часових шкал. Це добре працює на досвіді, а також рекомендується Числовими рецептами (Press et al., 2007).