Неприємні зауваження щодо області стійкості методу Рунге-Кутта п’ятого порядку

Я натрапив на дивовижне зауваження в газеті

PJ van der Houwen, Розробка методів Рунге-Кутти для часткових диференціальних рівнянь, Appl. Число Математика. 20: 261, 1996

На рядках 8ff на сторінці 264 Ван дер Ховен пише:

"Для поліномів Тейлора це означає, що уявний інтервал стійкості порожній для " $p = 1, 2, 5, 6, 9, 10, \cdots$

де поліном Тейлора відноситься до полінома стійкості (усічене розширення навколо ) методу Рунге-Кутти, а p - порядок (див. стор. 263). Я припускаю, що я щось неправильно розумію, оскільки метод Runge-Kutta п’ятого порядку не має порожнього уявного інтервалу стабільності, наскільки я знаю. Як я пам’ятаю, уявна межа - приблизно 3,4. $\exp(x)$ $x=0$

Яке моє непорозуміння?

numerical-analysis stability runge-kutta

— Брайан Сатапатік
джерело

$p$ $\exp(z)$ $p$

П_{p} (z) = \sum_{j = 1}^{p} \frac{z^{j}}{j!}

$P_p(z) = \sum_{j=1}^p \frac{z^j}{j!}$

$|P_5(i\epsilon)|>1$ $\epsilon$ $P_5(z)$

$P_5(z)$

$P_5(z)$ $p$ $P_5(z)$

Нарешті, легко помилитися, визначаючи ступінь уявного інтервалу стійкості для методів Рунге-Кутти високого порядку. Це тому, що межа області стійкості для таких методів лежить надзвичайно близько до уявної осі . Тому помилки округлення можуть призвести до неправильних висновків; слід використовувати лише точні розрахунки (звичайно, відповідність межі області стійкості для практичних цілей за цих обставин, безумовно, може бути обговорена).

Наприклад, ось графік області стійкості методу п'ятого порядку з пари Фельберга 5 (4): Регіон стабільності Фельберга

Уявний інтервал стійкості порожній, але ви не можете сказати з картини в цій роздільній здатності! Зауважте, що область чітко включає частину уявної осі, але не має інтервалу щодо походження.

Тим часом, ось сюжет для методу п’ятого порядку з пари Дорманд-Прінс 5 (4):

Область стійкості DP5

$[-1,1]$

$P_p(z)$

Можливо, вас також зацікавить пакет NodePy , який створив наведені вище графіки і який може бути використаний для точного визначення таких речей, як уявний інтервал стабільності методу (відмова від відповідальності: я створив NodePy).

— Девід Кетчесон
джерело

Девід, дякую за відмінну відповідь, яка прояснила пару речей. Я збираюся подорожувати пару днів без доступу. Я не хотів залишати вашу відповідь такою, що висить; Я повернусь до цього.

— Брайан Запапатік