Як визначити, чи чисельне рішення PDE переходить до рішення континууму?

Лакс еквівалентність теорема стверджує , що послідовність і стійкість чисельної схеми для лінійної початкової задачі є необхідною і достатньою умовою збіжності. Але для нелінійних задач чисельні методи можуть дуже вірогідно сходитись до неправильних результатів, незважаючи на те, що вони є послідовними та стабільними. Наприклад, у цьому документі показано, як метод Годунова першого порядку, застосований до 1D лінеаризованих рівнянь мілководдя, сходить до неправильного рішення.

Очевидно, що самоконвергенція при доопрацюванні сітки та часу не є достатньою, але точні рішення, як правило, не доступні для нелінійних PDE, тож як можна визначити, чисельний метод переходить до справжнього рішення?

pde stability convergence

— Джед Браун
джерело

Так званий метод виготовлених рішень забезпечує точні рішення для всіх проблем. Можливо, він не зможе генерувати описані вами проблемні рішення, але це не так, щоб точні рішення ніколи не були доступні.

— Білл Барт

Я думаю, що тут важко, оскільки вам потрібно буде здогадатися про рішення з видом розриву, який недостатньо наближений методом рішення.

— Метт Кнеплі

Я погоджуюся, що виготовити рішення, які збуджують проблемні режими, про які згадує Джед, напевно важко. Я просто хотів зазначити, що точні рішення завжди доступні для тестування. Я не знаю, що станеться, якщо ви виробляєте рішення для 1D лінійних рівнянь мілководдя, використовуючи, скажімо, суміш тригальних та експоненціальних функцій (типових для точних рішень MoM), поверніть кривошип, щоб отримати відповідні умови джерела, і запустіть їх за схемою Годунова 1-го порядку. Можливо, Джед може сфотографуватися і повідомити.

— Білл Барт

MoM - чудовий інструмент, але в цьому випадку проблема полягає в тому, що дифузія неправильно застосовується всередині шоку. Скрізь, дифузія, що сходить до нуля в кожному рівнянні однаково, є прийнятною, але дифузія не конвергується до нуля всередині шоку, тому застосування чисельної дифузії до кожного терміна однаково призводить до неправильної динаміки. Я напишу довгу відповідь на це питання, коли встигну, якщо мене ніхто не б’є.

— Джед Браун

@Jed, чи НЕ БУДЕ застосовуватись до лінеаризованих рівнянь?

— Метт Кнеплі

Відповіді:

Існує два основні класи рішень, які слід обговорити з цього приводу.

"Досить" гладкі рішення

У класичній роботі Странга показано, що теорема про еквівалентність Лакса (тобто ідея про те, що послідовність плюс стабільність передбачає конвергенцію) поширюється на нелінійні рішення PDE, якщо вони мають певну кількість безперервних похідних . Зауважте, що цей документ зосереджений на гіперболічних проблемах, але результат переходить до параболічних проблем. Кількість необхідних похідних є технічним моментом, але такий підхід, як правило, застосовний до рішень, що задовольняють PDE у сильному сенсі.

Розривні рішення

З іншого боку, у нас є "рішення" PDE із розривами , які зазвичай виникають із нелінійних законів збереження гіперболічних систем . У цій ситуації, звичайно, не можна сказати, що рішення задовольняє PDE в сильному сенсі, оскільки воно не є диференційованим в одній або декількох точках. Натомість слід ввести поняття слабкого рішення , яке по суті означає необхідність того, щоб рішення відповідало цілісному закону збереження.

Доведення конвергенції послідовності рішень також складніше в цьому випадку, оскільки -стабільність недостатня; зазвичай послідовність повинна бути показана на компактному просторі, наприклад, набір функцій з деяким кінцевим максимальним сумарним варіантом. $L_p$ $L_\infty$

Якщо може бути показано, що послідовність сходить до чогось, і якщо метод консервативний, то теорема Лакса-Вендрофа гарантує, що вона сходиться до слабкого рішення закону збереження. Однак такі рішення не є унікальними . Визначення того, яке слабке рішення є "правильним", вимагає інформації, яка не міститься в гіперболічному PDE. Як правило, гіперболічні PDE отримують, нехтуючи параболічними термінами в моделі континууму, і правильне слабке рішення може залежати від того, які саме параболічні терміни були відкинуті (останній пункт - це фокус статті, пов'язаний з вищезазначеним питанням ).

Це багата і зайнята тема, і математична теорія ще далеко не завершена. Більшість доказів конвергенції стосуються 1D-проблем і покладаються на спеціалізовані методи. Таким чином, практично всі фактичні обчислювальні рішення законів збереження гіперболічних методів на практиці не можуть бути доведені наближеними до існуючих інструментів. Для практичного обговорення з точки зору обчислень див. Книгу ЛеВеке (глави 8, 12 та 15); для більш жорсткого та детального лікування я б запропонував Dafermos .

— Девід Кетчесон
джерело

Мені тут мало що робити, крім того, щоб зазначити, що всякий раз, коли чисельні методи мають проблеми з гіперболічними рівняннями (і сходяться до неправильного рішення), це зазвичай не через потрясіння. Швидше, ділянки, з якими у них виникають труднощі, - це хвилі розрідження - там, де рішення гладко.

u_{t} + β \cdot \nabla F (u) = g

$u_t + \beta \cdot \nabla F(u) = g$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u_{t} + β F^{'} (u) \cdot \nabla u = g

$u_t + \beta F'(u) \cdot \nabla u = g$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

ω \subset Ω

$\omega\subset\Omega$

| ω | > 0

$|\omega|>0$

$F(u)$

F (u) = \frac{u^{4}}{u^{4} + (1 - u)^{2} \cdot (1 - u^{2})}

$F(u) = \frac{u^4}{u^4 + (1-u)^2 \cdot (1-u^2)}$

u

$u$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u = 0

$u=0$

— Вольфганг Бангерт
джерело

Це відмінний момент, хоча це питання ортогональне в строгому сенсі. Ви звертаєтесь до питання про перехід до правильного слабкого рішення, що насправді є більш проблематичним на практиці, ніж питання про перехід до якогось слабкого рішення.

— Девід Кетчесон