Вказівки щодо вкладених попередніх кондиціонерів

Розглянемо ситуацію, коли потрібно вирішити лінійну систему за допомогою попередньо обумовленого методу Крилова, але застосування самого попереднього кондиціонера передбачає вирішення допоміжної системи, що робиться за допомогою іншого попередньо обумовленого методу Крилова.

• З одного боку, ви можете запустити внутрішнє рішення до зближення в межах кожного кроку зовнішнього рішення.

• З іншого боку, ви не могли взагалі вирішити внутрішнє рішення, а замість цього замінити його внутрішнім попереднім кондиціонером.

• Десь посередині можна врізати внутрішню петлю Крилова після деякої фіксованої кількості ітерацій або після досягнення певної толерантності.

Емпірично я зіткнувся з ситуаціями, коли перша крайна краща, і різні ситуації, коли друга крайність краща (з точки зору загальної вартості). Однак я не можу знайти чіткої причини, чому певні ситуації надають перевагу одній стратегії над іншою.

Чи є вказівки чи теорія щодо того, коли ці різні стратегії є кращими?

Це питання відкрито давно, але я думаю, що воно все-таки заслуговує на відповідь.

Принципова проблема використання крилових просторових розв'язків на окремих блоках як внутрішніх попередніх кондиціонерів полягає в тому, що вони не є лінійними операторами. Щоб зрозуміти це, позначимо через вектор, який ви отримаєте як рішення, запустивши метод простору Крилова на лінійній системі не більше ітерацій або поки не буде досягнуто допуску , використовуючи попередній кондиціонер . Іншими словами, ви можете думати про як про оператора, який діє на .$\tilde x = K(A,P,\tau,N; b)$$K$$Ax=b$$N$$\tau$$P\approx A^{-1}$$K$$b$

Тепер зауважимо, що - лінійний оператор: він вимагає розв’язання саме, тобто , що лінійне в . У багатьох випадках запуск методу простору Крилова для точно однієї ітерації, починаючи з нульового вектора, також є лінійним оператором, застосованим до . Але оскільки послідовність векторів Крилова залежить від початкового залишкового , оператор взагалі не лінійний оператор для кінцевих і .$K(A,P,0,\infty;\cdot)$$Ax=b$$K(A,P,0,\infty;b)=A^{-1}b$$b$$b$$r^{(0)}=b-Ax^{(0)}$$K(A,P,\tau,N; \cdot)$$N$$\tau$

Це означає, що якщо ви використовуєте як частину попереднього кондиціонера для лінійної системи, в якій є одним блоком, то ви закінчуєте попередньою умовою, яка не виконує функції лінійний оператор.$K(A,P,\tau,N; \cdot)$$A$

Це на відміну від багатьох інших методів, які використовуються для передумови: наприклад, один крок SSOR - це лінійна операція над вектором, до якого ви його застосуєте, як і всі інші методи, які застосовують один крок ітерації фіксованої точки.

Основна проблема полягає в тому, що більшість космічних методів Крилова вимагають, щоб попередній передумовник був лінійним оператором. Вони просто не сходяться, якщо попередній кондиціонер не буде лінійним, пояснюючи ваше спостереження. З іншого боку, існують варіанти деяких методів простору Крилова - як правило, префіксованих словом "Гнучкі", наприклад, F-GMRES в "Гнучкий GMRES", - які працюють навколо цього, і які можуть мати справу з передумовниками, які не є лінійними оператори. Ці гнучкі варіанти оригінальних методів все ще збігаються, і часто є потужними методами у поєднанні з хорошими (але нелінійними) передумовниками.