Дискретизація кінцевих елементів простору-часу для PDE, залежних від часу

У літературі ФЕМ напів варіаційні методи зазвичай застосовуються при вирішенні PDE, залежних від часу. Я не бачив повністю варіаційного підходу, тобто, де FEM дискретизує простір і час, можливо, що дозволяє використовувати неструктуровані сітки простору та часу. Хоча методи часового введення можуть бути простішими у впровадженні, чи є певна причина, чому обмінювання простору та часу не є життєздатними? Я думаю, що треба підганяти сітки, щоб поважати фізичні властивості даної проблеми, але я не впевнений.

Повна просторово-часова дискретизація залежно від часу часткових диференціальних рівнянь - це справді річ. Якщо ви використовуєте структуровану сітку в часі (в тому сенсі, що дискретизація часу не залежить від місця) та відповідний вибір пробних і тестових функцій, ви можете підходити до декількох стандартних методів, що крокують за часом (Кран-Ніколсон, неявний Ейлер або деякий Runge -Кутта-схеми) в рамку Галеркіна, яка дає елегантний підхід до аналізу. Це описано, наприклад, у книзі Томе Методи кінцевих елементів Галеркина для параболічних проблем (Спрінгер, 2-е видання, 2006 р.) Або Оцінки помилок Хризафіноса та Уолкінґтона для розривних методів Галеркіна для параболічних рівнянь (SIAM J. Numer. Anal 44.1, 349–366, 2006).

Використання повністю неструктурованої сітки зустрічається рідше, але може мати сенс для гіперболічних проблем, коли у вас є транспорт інформації за характеристиками. Якщо ви використовуєте переривчасту формулювання Галеркина, кожен елемент простору-часу з'єднується лише з сусіднім елементом через терміни обличчя (у вас немає глобальних вимог щодо безперервності), і ви можете використовувати обчислювальний процес для обчислення рішення, переходячи від елемента до елемента вздовж характеристик - своєрідний «косий» кроковий час. Звичайно, це набагато складніше здійснити, навіть якщо для нього не потрібно зберігати повну просторово-часову сітку (що може бути непосильним). З іншого боку, ви отримуєте перевагу неструктурованих сіток в тому, що дозволяєте локальним (адаптивним) вдосконаленням і, отже, локально адаптивним кроком у часі.Простірно-часові методи кінцевих елементів для еластодинаміки: формулювання та оцінки помилок , Комп'ютерні методи в галузі прикладної механіки та техніки 66 (3): 339-363, 1988 . Там також докторська дисертація по Shripat Thite на Spacetime Meshing для розривних методів Гальоркіна .

Інший контекст, де я бачив цю ідею, полягає в обмеженій PDE оптимізації для параболічних проблем. Там ви можете сформулювати необхідні умови оптимальності першого порядку як зв'язану систему рівнянь вперед-назад, що ви можете інтерпретувати як змішану формулювання 2-го порядку у часі, четвертого порядку в просторовому еліптичному рівнянні з початковим-кінцевим (і граничні) умови. Здійснюючи адаптивну просторово-часову дискретизацію цієї сполученої системи, ви можете мати ефективний підхід для обчислення одного рішення, див. Гонг, Хінзе, Чжоу: наближення кінцевого елемента до простору та часу параболічних оптимальних задач управління , J Numer. Математика. 20 (2): 111-145 (2012) .

Є новіші статті про космічно-часові методи. Є один із Steinbach, Кінцевий елемент простору-часу та інший від Langer et. al, Ізогеометричний аналіз простору та часу, що стосується проблем параболічної еволюції. В обох статтях вони яскраво описують варіативні склади, але в різних умовах. Як показують заголовки, перший використовує FEM, а другий IgA. Я думаю, що це дає хорошу інформацію, особливо про те, що ви прагнете.

В останньому розділі другого видання монографії Числова математика, Quatteroni et. аль , є розділ про простір-час, який також може бути корисним, особливо при підключенні до$\theta-$схеми.

Реалізація простору-часу в тензорі дуже відрізняється від нетензорної. Останнє трохи складне, особливо для FEM.