Неявні кінцеві різницеві схеми рівняння адвекції

Існують численні схеми FD для рівняння адвекції обговорити в Інтернеті. Наприклад, тут: http://farside.ph.utexas.edu/teaching/329/lectures/node89.html$\frac{\partial T}{\partial t}+u\frac{\partial T}{\partial x}=0$

Але я ще не бачив, щоб хтось пропонував "неявну" схему вітрів на кшталт цієї: .$\frac{T^{n+1}_i-T^{n}_i}{\tau}+u\frac{T^{n+1}_i-T^{n+1}_{i-1}}{h_x}=0$

Усі схеми, які я бачив, мали справу з даними про попередній часовий крок у просторовій похідній. У чому причина цього? Як класична схема вітру порівнюється з тією, про яку я писав вище?

У динаміці обчислювальної рідини досить поширене використання неявних схем, подібних до запропонованих вами. Те, про що я знаю, ґрунтується на компактних формулах з кінцевою різницею (а не просто на заміні$n$ з $n+1$у існуючих схемах). Наприклад, одна з найбільш широко використовуваних схем була розроблена Лелею в 1992 році в цій статті з> 2500 цитатами. Такі схеми можуть мати кращі дисперсійні властивості, ніж типові явні схеми.

Перемотування, як правило, менш важливе при використанні неявних методів та великих розмірів часу, тому що величезна кількість дифузії (згадана Джеремі) означає, що ви не можете вирішити потрясіння.

Щодо конкретної схеми, яку ви пропонуєте:

• Це можна отримати за допомогою дискретизації методу ліній, використовуючи відсталу різницю в просторі та відсталий (неявний) метод Ейлера у часі.
• Це безумовно стабільно до тих пір, поки $u\ge0$ (що цікаво, він також стабільний для $u<0$якщо крок часу не надто малий !)
• Він більш дисипативний, ніж традиційна схема явного висхідного вітру.
• На відміну від явної схеми висхідного вітру, вона не задовольняє умові CFL одиниці (тобто у випадку це не точно $\tau u/h = 1$). Натомість він відповідає умові анти-підрозділу CFL (точно, якщо$\tau u/h = -1$).

Немає причини, що ви не можете робити те, що написали. Однією з причин того, що це нечасто, є те, що при гіперболічних (адвекційних) проблемах область залежності є кінцевою. Таким чином, явні методи мають сенс з точки зору ефективності обчислювальної техніки.

Ви написана неявна схема вимагає вирішення лінійної системи, хоча і у випадку, коли ви написали трикутну, і, таким чином, досить просто вирішити. Звичайно, коли ви переходите до систем та безлічі розмірів, система, швидше за все, не буде трикутною, хоча іноді це може призвести до правильного впорядкування невідомих (див., Наприклад, Квок і Челепі, JCP 2007 та Густафссон і Халігі, АТ, 2006 ).

Іноді, сподіваючись зробити великі кроки в часі, люди використовуватимуть неявний крок часу, як ви писали, але ви повинні бути обережними тут. Використовуючи неявний метод, ви введете велику кількість дифузії, таким чином ви значно змажете ваш розчин.