Найменше власне значення без зворотного

Припустимо, $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ - симетрична, позитивна визначена матриця. $A$ досить великий, що дорого вирішувати безпосередньо. $Ax=b$

Чи існує ітеративний алгоритм пошуку найменшого власного значення що не включає інвертування в кожній ітерації? $A$ $A$

Тобто, я повинен використовувати ітеративний алгоритм, як сполучені градієнти, щоб вирішити , тому багаторазове застосування здається дорогим "внутрішнім циклом". Мені потрібен лише один власний вектор. $Ax=b$ $A^{-1}$

Дякую!

— Джастін Соломон
джерело

Ви спробували використати розклад Холеського? Ви повинні були б фактор

бути трикутною матрицею. Щойно у вас є факторизація (ви робите це лише один раз), ви можете використовувати її в кожній ітерації, щоб вирішити систему дуже швидко шляхом заміни назад і вперед.

A

$A$

L L^{T}

$L L^T$

L

$L$

— Хуан М. Белло-Рівас

Чи розріджена матриця?

— Толга Бердал

має деяку структуру блоку, але я вважаю за краще не возитися з нею, якщо мені не доведеться, тому я розглядав "безматричні методи". Алгоритм "LOBPCG" має певну обіцянку, я думаю! @Juan, факторизація Чолеського все ще досить дорога.

A

$A$

— Джастін Соломон

Якщо ви використовуєте eigsматлаб або октаву, використовуйте -програму. Це ітеративний метод. Є варіанти вказати, яке власне значення ви хочете, наприклад, найменший реальний .

— sebastian_g

Я розумію і справді використовую eigs у матлабі. Але якщо вказати параметри , такі як «см» в eigs, то він вимагає інверсії

замість

. Ознайомтесь з таблицею в документації: mathworks.com/help/matlab/ref/eigs.html

A

$A$

A

$A$

— Джастін Соломон

Обчислити найбільшу величину власного значення з (з, скажімо, ). $\lambda_{max}$ $A$ eigs('lm')
Потім обчислити величину найбільшої (негативний) власне значення з (знову ж , з допомогою стандартного виклику ). $\hat{\lambda}_{max}$ $M = A - \lambda_{max}I$ eigs('lm')
Зауважимо , що . Причина, чому це має місце, пояснюється тут . $\hat{\lambda}_{max} + \lambda_{\max} = \lambda_{min}(A)$
Знайдіть власний вектор , вирішивши . $v$ $(A - \lambda_{min} I) v = 0$

— GoHokies
джерело