Вирішення величезної щільної лінійної системи?

Чи є надія на ефективне вирішення наступної лінійної системи за допомогою ітеративного методу?

$A \in \mathbb{R}^{n \times n}, x \in \mathbb{R}^n, b \in \mathbb{R}^n \text{, with } n > 10^6$

$Ax=b$

з

$A=(\Delta - K)$ , де - дуже розріджена матриця з кількома діагоналями, що виникає з дискретизації оператора Лапласа. На його головній діагоналі є і є інших діагоналей з на ній.- 6 6 $\Delta$$-6$$6$$1$

$K$ - повна матриця, яка повністю складається з них.$\mathbb{R}^{n \times n}$

Розв’язування прекрасно спрацьовує за допомогою таких ітеративних методів, як Гаусс-Сейдель, оскільки це рідка діагонально домінуюча матриця. Я підозрюю, що проблему досить неможливо ефективно вирішити для великої кількості , але чи є якась хитрість, можливо, її вирішити, використовуючи структуру ?A = ( Δ - K ) n $A=\Delta$$A=(\Delta - K)$$n$$K$

EDIT: Був би щось подібне

$\Delta x^{k+1} = b + Kx^{k}$ // вирішити для з Гауссом-Сейделем$x^{k+1}$

сходяться до правильного рішення? Я читав, що такий метод розщеплення сходиться, якщо , де - спектральна норма. Я вручну обчислював власні значення для деяких різних малих значень і всі вони дорівнюють нулю, крім того, яке має досить високе від'ємне значення. (приблизно ~ 500 для ) Тож я думаю, це не спрацювало б.ρ Δ - 1 K n n = $\rho(\Delta^{-1} K) < 1$$\rho$$\Delta^{-1} K$$n$$n=256$

EDIT: Більше інформації про$\Delta$ :

$\Delta \in \mathbb{R}^{n \times n}$ симетрична і є негативно визначеною та діагонально домінуючою.

Він створюється наступним чином у matlab

n=W*H*D;

e=ones(W*H*D,1);

d=[e,e,e,-6*e,e,e,e];

delta=spdiags(d, [-W*H, -W, -1, 0, 1, W, W*H], n, n);

$n>10^6$$n \approx 10^{12}$$\Delta$$\Delta$

• Використовуйте огороджену систему

де - вектор стовпців, що складається з усіх і вирішує систему$\ee$

використовуючи ітеративний або прямий розв'язувач.

• Скористайтеся методом Крилова та застосуйте матрицю як (тобто розріджена матриця плюс корекція рангу-1. Використовуйте існуючий попередній умова , або , особливо якщо ви хочете використовувати пряме рішення з , оновіть його формулою Шермана-Моррісона .Δ - e e T P - 1 ≈ Δ - 1$A$$\Delta - \ee \ee^T$$P^{-1} \approx \Delta^{-1}$$\Delta$