Складність із спектральним методом з використанням поліносів Чебишева

У мене виникають певні труднощі, намагаючись зрозуміти папір. У роботі використовується спектральний метод для вирішення власного значення, яке походить із системи зв'язаних ОДЕ. Зараз я випишу лише одне рівняння, оскільки цього досить, щоб дійти до суті мого питання.

Рівняння є

$V[r] = \frac{e^{-(\nu[r] +\lambda[r])}}{\epsilon[r] + p[r]} *\biggr[ (\epsilon[r] + p[r])( e^{\nu[r] +\lambda[r]})r W[r] \biggr]'$

Я виконую похідну і отримую

(Eq1) $V = \biggr[ \frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} + r(\nu'+\lambda') +1 \biggr] W + r W'$

Тепер, згідно з документом, я мав би змогу розширити рівноважні величини ) системи як Чебішевські поліноми форми $(\epsilon ,p ,\nu ,\lambda$

, де- многочлени. Я знаю, як отримативикористовуючи код, написаний у Mathematica. Також, а областьдорівнює. $B[r] = \Sigma_{i=0}^{\infty}b_i T_i[y] - \frac{1}{2} b_0$ $T_i[y]$ $b_i$ $y = 2(r/R) -1$ $r$ $(0,R)$

У статті також зазначено, що функції ( ) можна розширити як $V,W$ , і що взагалі такий термін, якможна виразити як $F[r] = (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}f_i T_i[y] - \frac{1}{2} f_0$ $B[r]F[r]$

$B[r]F[r] = \frac{1}{2} (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty} \pi_i T_i[y] - \frac{1}{2} \pi _0$

де і при і дорівнює 1 для . $\pi_i = \Sigma_{j=0}^{\infty}[b_{i+j} + \Theta(j-1)b_{|i-1|} ] f_l$ $\Theta(k) = 0$ $k<0$ $k\geq 0$

З урахуванням сказаного, скажемо, що я виконую такі функції рівноваги

і, тоді Eq1 стає $\frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} = B_1[r]$ $r(\nu'+\lambda') = B_2[r]$

(Eq2) . $\bigg((\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}v_i T_i[y] - \frac{1}{2} v_0 \bigg) = \biggr[ B_1[r] + B_2[r] +1 \biggr] \biggr( (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}w_i T_i[y] - \frac{1}{2} w_0 \biggr) + r W'$

Питання1: Що мені робити з $(\frac{r}{R})^l$ terms? The polynomials are functions of $[y]$ so how can I even have an expansion like $B[r]= (\frac{r}{R})^l$ X function of [y]? Also it seems like I can just divide them out on each side of the equation, so what was the point of introduction that term? I mean, according to the paper this term is supposed to impose the boundary condition that $V,W$ go to zero as $r$ goes to zero.

*Question2:*How am I supposed to deal with the $r$ in the $r*W'$ term. The paper gives a description of how to handle derivative terms, but what about the $r$ itself. Am I supposed to treat it like an equilibrium value and use the rule for terms like $B[r]F[r]$ or should I express this $r$ in terms of $y$ . Or should I do something else altogether?

eigenvalues polynomials spectral-method

— tau1777
джерело

Perhaps you can link to the paper you are referencing?

— Aron Ahmadia

Hi Aron, Here is the link arxiv.org/pdf/gr-qc/0210102.pdf The numerical things I'am having trouble with are desrcribed in Appendix A, and the equation I was examining above is equation (19). Thanks.

— tau1777

Note that

y

$y$ itself is a (linear) function of

\frac{r}{R}

$\frac{r}{R}$ (and hence of

r

$r$ ).

— Christian Clason

I'm not sure it's possible to answer the question without a detailed reading of the paper. But in regards to the first question, you have $r/R = (y+1)/2$ . And this factor cannot be divided out since it does not multiply all terms.

For question 2: since this equation is to be used to apply the boundary condition at $r=0$ , I think the term you mention should vanish.

— David Ketcheson
джерело